Question

16．斜率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的直線與焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線x²-$\frac{y^2}{b^2}$=1（b＞0）交于不同的兩點(diǎn)P、Q．若點(diǎn)P、Q在x軸上的投影恰好為雙曲線的兩焦點(diǎn)，則該雙曲線的焦距為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 設(shè)斜率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$的直線l：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+t，代入雙曲線方程，消去y，由題意可得，方程的兩根分別為-c，c．則有t=0，代入c，得到方程，再由a，b，c的關(guān)系，可得c的方程，計(jì)算即可得到所求．

解答 解：設(shè)斜率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$的直線l：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+t，
代入雙曲線方程，消去y，可得，（b²-$\frac{1}{2}$）x²-$\sqrt{2}$tx-t²-b²=0，
由于點(diǎn)P、Q在x軸上的射影恰好為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，
則有上式的兩根分別為-c，c．
則t=0，即有（b²-$\frac{1}{2}$）c²=b²，由于b²=c²-1，
則有2c⁴-5c²+2=0，
解得c²=2（$\frac{1}{2}$舍去），
則c=$\sqrt{2}$．焦距為2$\sqrt{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．