Question

5．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有棱長(zhǎng)都等于a，D點(diǎn)為BC的中點(diǎn)．
（1）求證：A₁B∥平面AC₁D；
（2）點(diǎn)C到平面ADC₁的距離．

Answer 1

分析 （1）連接A₁C，交AC₁于O，連接OD，運(yùn)用中位線(xiàn)定理，以及直線(xiàn)和平面平行的判定定理，即可得證；
（2）利用等體積，求點(diǎn)C到平面ADC₁的距離．

解答 （1）證明：連接A₁C，交AC₁于O，連接OD，
由于OD是△A₁BC的中位線(xiàn)，則OD∥A₁B，
又OD?平面面AC₁D，A₁B?平面AC₁D，
則有A₁B∥平面AC₁D；
（2）解：設(shè)點(diǎn)C到平面ADC₁的距離為h，則
由等體積可得$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}a×\sqrt{{a}^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}}×h$=$\frac{1}{2}×\frac{a}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}a×a$，
∴h=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面平行的判定定理，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，注意運(yùn)用體積轉(zhuǎn)換法，屬于中檔題．