Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+（1-x）e^x（e為自然對數(shù)的底數(shù)），g（x）=x-（1+a）lnx-$\frac{a}{x}$，a＜1．
（1）求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（2）討論函數(shù)g（x）的極小值；
（3）若對任意的x₁∈[-1，0]，總存在x₂∈[e，3]，使得f（x₁）＞g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f（1），f′（1），求出切線方程即可；
（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極小值即可；
（3）問題等價于f（x）在[-1，0]上的最小值大于函數(shù)g（x）在[e，3]上的最小值，分別求出f（x），g（x）的極小值，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=x（1-e^x），
∴f′（1）=1-e，即切線的斜率是1-e，
又f（1）=$\frac{1}{2}$，則切點(diǎn)坐標(biāo)是（1，$\frac{1}{2}$），
故f（x）在x=1處的切線方程是y-$\frac{1}{2}$=（1-e）（x-1），
即2（e-1）x+2y-2e+1=0；
（2）∵g′（x）=$\frac{{x}^{2}-（a+1）x+a}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-a）（x-1）}{{x}^{2}}$，a＜1，
函數(shù)g（x）的定義域是{x|x＞0}，
∴0＜a＜1時，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜a或x＞1，
令g′（x）＜0，解得：a＜x＜1，
∴g（x）在（0，a）遞增，在（a，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴g（x）的極小值為g（1）=1-a，
a≤0時，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴g（x）的極小值是g（1）=1-a，
綜上，函數(shù)g（x）的極小值是1-a；
（3）若對任意的x₁∈[-1，0]，總存在x₂∈[e，3]，使得f（x₁）＞g（x₂）成立，
等價于f（x）在[-1，0]上的最小值大于函數(shù)g（x）在[e，3]上的最小值，
x∈[-1，0]時，f′（x）=x（1-e^x）≤0，
當(dāng)且僅當(dāng)x=0時不等式取“=”，
∴f（x）在[-1，0]上單調(diào)遞減，
∴f（x）在[-1，0]上的最小值是f（0）=1，
由（2）得，g（x）在[e，3]遞減，
∴g（x）在[e，3]的最小值是g（e）=e-（a+1）-$\frac{a}{e}$，
故1＞e-（a+1）-$\frac{a}{e}$，解得：a＞$\frac{{e}^{2}-2e}{e+1}$，
又a＜1，
故a∈（$\frac{{e}^{2}-2e}{e+1}$，1）．

點(diǎn)評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，是一道綜合題．