Question

3．如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，且底面ABCD是正方形，M為AA₁的中點(diǎn)，連接BD，MB，MD，MC₁．
（1）求證：A₁C∥平面BDM；
（2）求證：BD⊥MC₁．

Answer 1

分析 （1）連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接OM，證明OM∥A₁C，即可證明A₁C∥平面BDM；
（2）證明AA₁⊥BD，AC⊥BD，得出BD⊥平面ACC₁A₁，從而證明BD⊥MC₁．

解答 解：（1）證明：連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接OM，如圖所示；

∵底面ABCD是正方形，∴O是AC的中點(diǎn)，
又M為AA₁的中點(diǎn)，
∴OM∥A₁C，又A₁C?平面BDM，OM?平面BDM，
∴A₁C∥平面BDM；
（2）證明：由AA₁⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，
∴AA₁⊥BD，
又底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
且AC∩AA₁=A，AC?平面ACC₁A₁，AA₁?平面ACC₁A₁，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，
又MC₁?平面ACC₁A₁，∴BD⊥MC₁．

點(diǎn)評 本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了推理與證明能力，是中檔題．