Question

設二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）在區(qū)間[-2，2]上的最大值、最小值分別是M、m，集合A={x|f（x）=x}．
（1）若A={1，2}，且f（0）=2，求M和m的值；
（2）若A={1}，且a≥1，記g（a）=M+m，求g（a）的最小值．
（3）若集合B={x|f〔f（x）〕=x}，且A=∅，求證：B=∅．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由f（0）=2得到c的值，集合A的方程可變?yōu)閒（x）-x=0，因為A={1，2}，得到1，2是方程的解，根據(jù)韋達定理即可求出a和b，把a、b、c代入得到f（x）的解析式，在[-2，2]上根據(jù)函數(shù)的圖象可知m和M的值．
（2）由集合A={1}，得到方程f（x）-x=0有兩個相等的解都為1，根據(jù)韋達定理求出a，b，c的關(guān)系式，根據(jù)a大于等于1，利用二次函數(shù)求最值的方法求出在[-2，2]上的m和M，代入g（a）=m+M中得到新的解析式g（a）=9a-

1

4a

-1，根據(jù)g（a）的在[1，+∞）上單調(diào)增，求出g（a）的最小值為g（1），求出值即可．
（3）A=∅，說明f（x）=x無解，由“不動點”和“穩(wěn)定點”的定義證明f[f（x）]=x無解即可得出B=∅．

解答： 解：（1）由f（0）=2可知c=2，
∵A={1，2}，
∴1，2是方程ax²+（b-1）x+c=0的兩實根，
∴

1+2= 1-b a 2= c a

，解得a=1，b=-2，
∴f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
因為x∈[-2，2]，根據(jù)函數(shù)圖象可知，
當x=1時，f（x）_min=f（1）=1，即m=1，
當x=-2時，f（x）_max=f（-2）=10，即M=10，
∴M=10，m=1．
（2）由題意知，方程ax²+（b-1）x+c=0有兩相等實根x₁=x₂=1，
根據(jù)韋達定理得到：

1+1= 1-b a 1= c a

，即

b=1-2a c=a

，
∴f（x）=ax²+bx+c=ax²+（1-2a）x+a，x∈[-2，2]其對稱軸方程為x=

2a-1

2a

=1-

1

2a

又a≥1，故1-

1

2a

∈[

1

2

，1）
∴M=f（-2）=9a-2
m=f（

2a-1

2a

）=1-

1

4a

則g（a）=M+m=9a-

1

4a

-1
又g（a）在區(qū)間[1，+∞）上為單調(diào)遞增的，∴當a=1時，g（a）_min=

31

4

．
（3）若B≠∅．
則f[f（x）]=x有解，
即f（x）=x有解，
這與A=∅矛盾，
故B=∅．

點評：本題主要查了學生靈活運用韋達定理解決實際問題，掌握利用數(shù)形結(jié)合法解決數(shù)學問題，會求一個閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值．屬于中檔題．