Question

如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′中邊長(zhǎng)為1，過(guò)A′，B，C′三點(diǎn)的平面將正方體截去一個(gè)角，試畫(huà)出剩余部分幾何體的二視圖，并求其體積和表面積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：由已知能用出剩余部分幾何體的三視圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出B′到平面A′BC′的距離，由此能求出剩余部分幾何體的體積，由正方體的結(jié)構(gòu)特征能求出剩余部分幾何體的表面積．

解答： 解：由已知得剩余部分幾何體的三視圖如右圖所示．
在正方體ABCD-A′B′C′D′中，
以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
則A′（1，0，1），B（1，1，0），C′（0，1，1），B′（1，1，1），

BA′

=（0，-1，1），

BC′

=（-1，0，1），
設(shè)平面A′BC′的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • BA′ =-y+z=0 n • BC′ =-x+z=0

，取x=1，得

n

=（1，1，1），
又

BB′

=（0，0，1），
∴B′到平面A′BC′的距離：d=

| n • BB′ |

| n |

=

|1|

3

=

3

3

，
又S△A′BC′=

1

2

×

2

×

2

×sin60°=

3

2

剩余部分幾何體的體積：
V=V正方體ABCD-A′B′C′D′-VB‘-A’BC‘
=1-

1

3

×d×S△A′BC′=1-

1

3

×

3

3

×

3

2

=

5

6

．
剩余部分幾何體的表面積：
S=3S_{正方形ABCD}+3S△AA′B+S△A′BC′
=3×1²+3×

1

2

×12+

1

2

×

2

×

2

×sin60°
=3+

3

2

+

3

2

=

9+ 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何體的三視圖的作法，考查幾何體的體積的表面積的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．