【題目】已知函數(shù) (為常數(shù))
(Ⅰ)若是定義域上的單調(diào)函數(shù),求的取值范圍;
(Ⅱ)若存在兩個極值點,且,求的最大值.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) 。
【解析】
(Ⅰ)由是單調(diào)函數(shù)可得在定義域上恒成立,然后轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布的問題處理即可.(Ⅱ)由題意得是方程的兩根,故得,不妨令,然后將表示為的函數(shù),最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可求得最大值.
(Ⅰ)∵,,
∴.
設(shè),,
∵是定義域上的單調(diào)函數(shù),函數(shù)的圖象為開口向上的拋物線,
∴在定義域上恒成立,即在上恒成立.
又二次函數(shù)圖象的對稱軸為,且圖象過定點,
∴,或,解得.
∴實數(shù)的取值范圍為.
(Ⅱ)由(I)知函數(shù)的兩個極值點滿足,
所以,
不妨設(shè),則在上是減函數(shù),
∴,
∴
.
令,則,
又,即,
解得,
故,
∴.
設(shè),
則,
∴在上為增函數(shù).
∴,
即.
所以的最大值為.
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【題目】已知函數(shù)。
(I)若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(II)若函數(shù)有兩個極值點且,求證
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【題目】某校高三年級數(shù)學(xué)競賽初賽考試后,對90分以上(含90分)的成績進行統(tǒng)計,其頻率分布直方圖如圖所示,已知成績在130~140分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為2.
(1)求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)M.
(2)現(xiàn)根據(jù)初賽成績從第一組和第五組(從低分段至高分段依次為第一組、第二組、…、第五組)中任意選出兩人,形成幫扶小組.若選出的兩人的成績之差大于20,則稱這兩人為“黃金搭檔組”,試求選出的兩人為“黃金搭檔組”的概率.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)當(dāng)時,求的最小值;
(2)當(dāng)時,若存在,使得對任意的,都有恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】橢圓的中心在原點,焦點在坐標(biāo)軸上,焦距為2.一雙曲線和該橢圓有公共焦點,且雙曲線的實半軸長比橢圓的長半軸長小4,雙曲線離心率與橢圓離心率之比為7∶3,求橢圓和雙曲線的方程.
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【題目】已知傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線:的焦點,與拋物線相交于、兩點,且.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)過點的兩條直線、分別交拋物線于點、和、,線段和的中點分別為、.如果直線與的傾斜角互余,求證:直線經(jīng)過一定點.
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【題目】如圖是一景區(qū)的截面圖,是可以行走的斜坡,已知百米,是沒有人行路(不能攀登)的斜坡,是斜坡上的一段陡峭的山崖.假設(shè)你(看做一點)在斜坡上,身上只攜帶著量角器(可以測量以你為頂點的角).
(1)請你設(shè)計一個通過測量角可以計算出斜坡的長的方案,用字母表示所測量的角,計算出的長,并化簡;
(2)設(shè)百米,百米,,,求山崖的長.(精確到米)
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【題目】大衍數(shù)列,來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十“的推論.主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理數(shù)列中的每一項,都代表太極衍生過程中,曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題其規(guī)律是:偶數(shù)項是序號平方再除以2,奇數(shù)項是序號平方減1再除以2,其前10項依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,如圖所示的程序框圖是為了得到大衍數(shù)列的前100項而設(shè)計的,那么在兩個判斷框中,可以先后填入( )
A. 是偶數(shù)?,? B. 是奇數(shù)?,?
C. 是偶數(shù)?, ? D. 是奇數(shù)?,?
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