Question

4．已知函數(shù)f（x）=λsinωx-cosωx（ω＞0），其圖象的相鄰對(duì)稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，且直線$x=\frac{π}{6}$是它的一條對(duì)稱軸．
（1）求實(shí)數(shù)λ的值；
（2）設(shè)函數(shù)$g（x）=f（x）+cos（2x-\frac{2π}{3}）$，求g（x）在區(qū)間$[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的周期以及函數(shù)的對(duì)稱軸，列出方程求解即可．
（2）利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的解析式，求出相位x的范圍，利用正弦函數(shù)的有界性求解即可．

解答 解：（1）由題意知函數(shù)f（x）的周期T=π，∴ω=2，
∴f（x）=λsin2x-cos2x，又直線$x=\frac{π}{6}$是f（x）的圖象的一條對(duì)稱軸，
∴$f（0）=f（\frac{π}{3}）$，即$-1=λsin\frac{2π}{3}-cos\frac{2π}{3}$，解得$λ=-\sqrt{3}$．
（2）由（1）知$f（x）=-\sqrt{3}sin2x-cos2x$，
∴$g（x）=-\sqrt{3}sin2x-cos2x+cos（2x-\frac{2π}{3}）$=$-\sqrt{3}sin2x-cos2x+cos2xcos\frac{2π}{3}+sin2xsin\frac{2π}{3}$=$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{3}{2}cos2x$=$-\sqrt{3}sin（2x+\frac{π}{3}）$．
∵$-\frac{π}{3}≤x≤\frac{π}{6}$，∴$-\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}$，
∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（2x+\frac{π}{3}）≤1$，∴$-\sqrt{3}≤-\sqrt{3}sin（2x+\frac{π}{3}）≤\frac{3}{2}$，
即g（x）在區(qū)間$[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}}]$上的值域?yàn)?[{-\sqrt{3}，\frac{3}{2}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，正弦函數(shù)的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．