Question

如圖，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，∠PAD=90°，且PA=AD=2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點．
（1）求證：PB∥平面EFG；
（2）求異面直線EG與BD所成角的余弦值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）取AB的中點M，連接EM，MG．利用平行四邊形的性質、三角形的中位線定理可得MG∥EF．即四點E，F(xiàn)，G，M共面．而在三角形PAB中，再利用三角形的中位線定理可得PB∥EM，利用線面平行的判定定理可得PB∥平面EFGM．
（2）通過建立空間直角坐標系，利用向量的夾角公式即可得出異面直線的夾角．

解答： （1）證明：取AB的中點M，連接EM，MG．
∵MG∥AD，AD∥EF，∴MG∥EF．
∴四點E，F(xiàn)，G，M共面．
而在三角形PAB中，PB∥EM，
又PB?平面EFGM，EM?平面EFGM．
∴PB∥平面EFGM．
即得PB∥平面EFG．
（2）解：如圖所示，建立空間直角坐標系．
則B（2，0，0），D（0，2，0），G（1，2，0），E（0，0，1）．
∴

BD

=（-2，2，0），

EG

=（1，2，-1）．
∴cos＜

BD

，

EG

＞=

BD • EG

| BD | | EG |

=

-2+4

8 × 6

=

3

6

．
∴異面直線EG與BD所成角的余弦值為

3

6

．

點評：本題考查了平行四邊形的性質、三角形的中位線定理、線面平行的判定定理、向量的夾角公式、異面直線的夾角等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和空間想象能力，屬于中檔題．