Question

18．已知離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$的橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OAB的面積為$\frac{3\sqrt{6}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）F₁、F₂分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，過橢圓C上一點(diǎn)M的直線MF₁、MF₂分別與橢圓交于D、E，設(shè)$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=λ$\overrightarrow{{F}_{1}D}$，$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=μ$\overrightarrow{{F}_{2}E}$（λ，μ∈R），求λ+μ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{S=\frac{1}{2}ab=\frac{3\sqrt{6}}{2}\\;}\end{array}\right.$，從而解得；
（Ⅱ）設(shè)M（x，y），D（x_D，y_D），E（x_E，y_E），F(xiàn)₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0）；從而可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{D}=-\frac{\sqrt{3}}{λ}-\frac{x}{λ}-\sqrt{3}}\\{{y}_{D}=-\frac{y}{λ}}\end{array}\right.$，代入橢圓方程化簡得（$\sqrt{3}$+x+λ$\sqrt{3}$）²+9-x²-9λ²=0，從而求得λ=$\frac{6+\sqrt{3}x}{3}$，同理可得μ=$\frac{6-\sqrt{3}x}{3}$，從而解得．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，
$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{S=\frac{1}{2}ab=\frac{3\sqrt{6}}{2}\\;}\end{array}\right.$，
解得，a=3，b=$\sqrt{6}$，c=$\sqrt{3}$；
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1；
（Ⅱ）設(shè)M（x，y），D（x_D，y_D），E（x_E，y_E），F(xiàn)₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0）；
∵$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=λ$\overrightarrow{{F}_{1}D}$，
∴（-$\sqrt{3}$-x，-y）=λ（$\sqrt{3}$+x_D，y_D），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{D}=-\frac{\sqrt{3}}{λ}-\frac{x}{λ}-\sqrt{3}}\\{{y}_{D}=-\frac{y}{λ}}\end{array}\right.$，
又∵$\frac{{{x}_{D}}^{2}}{9}$+$\frac{{{y}_{D}}^{2}}{6}$=1，$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1，
∴（$\sqrt{3}$+x+λ$\sqrt{3}$）²+9-x²-9λ²=0，
∴（3λ-（6+$\sqrt{3}$x））（λ+1）=0，
∴λ=$\frac{6+\sqrt{3}x}{3}$，
又∵$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=μ$\overrightarrow{{F}_{2}E}$，
∴同理可得，μ=$\frac{6-\sqrt{3}x}{3}$
∴λ+μ=$\frac{6+\sqrt{3}x}{3}$+$\frac{6-\sqrt{3}x}{3}$=4．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．