18.已知離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$的橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B,O為坐標(biāo)原點(diǎn),△OAB的面積為$\frac{3\sqrt{6}}{2}$.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)F1、F2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn),過橢圓C上一點(diǎn)M的直線MF1、MF2分別與橢圓交于D、E,設(shè)$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=λ$\overrightarrow{{F}_{1}D}$,$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=μ$\overrightarrow{{F}_{2}E}$(λ,μ∈R),求λ+μ的值.

分析 (Ⅰ)由題意知$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{S=\frac{1}{2}ab=\frac{3\sqrt{6}}{2}\\;}\end{array}\right.$,從而解得;
(Ⅱ)設(shè)M(x,y),D(xD,yD),E(xE,yE),F(xiàn)1(-$\sqrt{3}$,0),F(xiàn)2($\sqrt{3}$,0);從而可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{D}=-\frac{\sqrt{3}}{λ}-\frac{x}{λ}-\sqrt{3}}\\{{y}_{D}=-\frac{y}{λ}}\end{array}\right.$,代入橢圓方程化簡得($\sqrt{3}$+x+λ$\sqrt{3}$)2+9-x2-9λ2=0,從而求得λ=$\frac{6+\sqrt{3}x}{3}$,同理可得μ=$\frac{6-\sqrt{3}x}{3}$,從而解得.

解答 解:(Ⅰ)由題意知,
$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{S=\frac{1}{2}ab=\frac{3\sqrt{6}}{2}\\;}\end{array}\right.$,
解得,a=3,b=$\sqrt{6}$,c=$\sqrt{3}$;
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1;
(Ⅱ)設(shè)M(x,y),D(xD,yD),E(xE,yE),F(xiàn)1(-$\sqrt{3}$,0),F(xiàn)2($\sqrt{3}$,0);
∵$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=λ$\overrightarrow{{F}_{1}D}$,
∴(-$\sqrt{3}$-x,-y)=λ($\sqrt{3}$+xD,yD),
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{D}=-\frac{\sqrt{3}}{λ}-\frac{x}{λ}-\sqrt{3}}\\{{y}_{D}=-\frac{y}{λ}}\end{array}\right.$,
又∵$\frac{{{x}_{D}}^{2}}{9}$+$\frac{{{y}_{D}}^{2}}{6}$=1,$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1,
∴($\sqrt{3}$+x+λ$\sqrt{3}$)2+9-x2-9λ2=0,
∴(3λ-(6+$\sqrt{3}$x))(λ+1)=0,
∴λ=$\frac{6+\sqrt{3}x}{3}$,
又∵$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=μ$\overrightarrow{{F}_{2}E}$,
∴同理可得,μ=$\frac{6-\sqrt{3}x}{3}$
∴λ+μ=$\frac{6+\sqrt{3}x}{3}$+$\frac{6-\sqrt{3}x}{3}$=4.

點(diǎn)評 本題考查了橢圓與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

8.某公司2014年9月投資14 400萬元購得某種紀(jì)念品的專利權(quán)及生產(chǎn)設(shè)備,生產(chǎn)周期為一年.已知生產(chǎn)每件紀(jì)念品還需要材料等其他費(fèi)用20元.為保證有一定的利潤,公司決定該紀(jì)念品的銷售單價(jià)不低于150元,進(jìn)一步的市場調(diào)研還發(fā)現(xiàn):該紀(jì)念品銷售單價(jià)定在150元到250元之間較為合理(含150元及250元).并且當(dāng)銷售單價(jià)定為150元時(shí),預(yù)測年銷售量為150萬件;當(dāng)銷售單價(jià)超過150元但不超過200元時(shí),預(yù)測每件紀(jì)念品的銷售價(jià)格每增加1元,年銷售量將減少1萬件;當(dāng)銷售單價(jià)超過200元但不超過250元時(shí),預(yù)測每件紀(jì)念品的銷售價(jià)格每增加1元,年銷售量將減少1.2萬件.根據(jù)市場調(diào)研的結(jié)果,設(shè)該紀(jì)念品的銷售單價(jià)為x(元),年銷售量為u(萬件),平均每件紀(jì)念品的利潤為y(元).
(1)求年銷售量u關(guān)于銷售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該公司考慮到消費(fèi)者的利益,決定銷售單價(jià)不超過200元,問銷售單價(jià)x為多少時(shí),平均每件紀(jì)念品的利潤y最大?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

9.下列函數(shù)中,表示同一函數(shù)的是( 。
A.$y=\frac{{{x^2}-1}}{x-1}與y=x+1$B.$y=lgx與y=\frac{1}{2}lg{x^2}$
C.y=lg(x2-1)與y=lg(x+1)+lg(x-1)D.y=x與y=${log}_{a}{a}^{x}$

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

6.已知點(diǎn)D、E、F分別為△ABC的邊BC、CA、AB上的點(diǎn),AD、BE、CF相交于點(diǎn)P,且AE=EC,BF=2FA.
(1)記$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$,試用表示$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{BP}$、$\overrightarrow{CP}$;
(2)求BD:DC的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

13.若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-1≤0}\\{x-y≥0}\\{2x+y≥0}\end{array}\right.$,則目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值為( 。
A.2B.1C.-1D.-2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

3.已知偶函數(shù)f(x)滿足f(x+5)=f(x-5),且0≤x≤5時(shí),f(x)=x2-4x,則f(2016)=( 。
A.-1B.0C.1D.12

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10.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=$\frac{3^{n+1}}{2}$-$\frac{3}{2}$(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若bn=an•log3an,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

7.若向量$\overrightarrow{a}$=(3,4),則|$\overrightarrow{a}$|=5.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

8.設(shè)集合A={2,5},集合B={1,2},集合C={1,2,5,7},則(A∪B)∩C為( 。
A.{1,2,5}B.{2,5}C.{2,5,7}D.{1,2,5,7}

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