Question

5．已知函數(shù)f（x）=x²+bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-2=0垂直，若數(shù)列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n項(xiàng)和為S_n，則S₉=$\frac{9}{10}$．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)直線垂直的關(guān)系求解切線斜率，以及b，利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和．

解答 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=2x+b，
則f′（1）=2+b，
∵切線l與直線x+3y-2=0垂直，
∴切線斜率k=f′（1）=2+b=3，
解得b=1，即f（x）=x²+x，
則$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}=\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
則S₉=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{9}-$$\frac{1}{10}$=1-$\frac{1}{10}$=$\frac{9}{10}$，
故答案為：$\frac{9}{10}$

點(diǎn)評 本題主要考查數(shù)列的求和以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，根據(jù)直線求出的條件求出b的值是解決本題的關(guān)鍵．