Question

12．已知函數(shù)f（x）=2e^x-ax-2（a∈R）
（1）若a=2，求證：f（x）≥0．
（2）若x∈[1，2]，求f（x）的最小值．
（3）設(shè)函數(shù)y=f（x）圖象上任意不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且x₁＜x₂，記直線AB的斜率為k，求證：k＞f′（px₁+qx₂）（其中正常數(shù)p，q滿足p+q=1且p≥q）

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極小值，也為最小值，即可得證；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)a≤2e，當(dāng)a≥2e²，當(dāng)2e＜a＜2e²時，求得單調(diào)區(qū)間，可得最小值；
（3）根據(jù)題意，由直線的斜率公式可得k，令φ（x）=f′（x）-k=2e^x-a-2•$\frac{{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$+a=2（e^x-$\frac{{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$），可以求出φ（x₁）與φ（x₂）的值，令F（t）=e^t-t-1，求導(dǎo)可得F′（t）=e^t-1，分t＞0與t＜0討論可得F（t）的最小值為F（0）=0，則當(dāng)t≠0時，F(xiàn)（t）＞F（0）=0，即e^t-t-1＞0，進而討論可得φ（x₁）＜0、φ（x₂）＞0，結(jié)合函數(shù)的連續(xù)性分析可得答案．

解答 解：（1）證明：函數(shù)f（x）=2e^x-2x-2的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2e^x-2，
當(dāng)x＞0時，f′（x）＞0，f（x）遞增；當(dāng)x＜0時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
當(dāng)x=0處時，f（x）取得極小值，也為最小值，且為0，
即有f（x）≥0；
（2）函數(shù)f（x）=2e^x-ax-2的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2e^x-a，
由x∈[1，2]，可得2e^x∈[2e，2e²]，
當(dāng)a≤2e，即有f′（x）≥0，f（x）在[1，2]遞增，
即有f（1）取得最小值2e-a-2；
當(dāng)a≥2e²，即有f′（x）≤0，f（x）在[1，2]遞減，
即有f（1）取得最小值2e²-2a-2；
當(dāng)2e＜a＜2e²時，x＞ln$\frac{a}{2}$，f′（x）＞0，f（x）遞增，
x＜ln$\frac{a}{2}$時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
即有x=ln$\frac{a}{2}$處取得極小值，也為最小值a-aln$\frac{a}{2}$-2；
（3）證明：由題意知，k=$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=2•$\frac{{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$-a．
由x₁＜x=px₁+qx₂＜x₂，
令φ（x）=f′（x）-k=2e^x-a-2•$\frac{{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$+a=2（e^x-$\frac{{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$），
則φ（x₁）=-$\frac{{e}^{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$[${e}^{{x}_{2}-{x}_{1}}$-（x₂-x₁）-1]，φ（x₂）=$\frac{{e}^{{x}_{2}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$[${e}^{{x}_{1}-{x}_{2}}$-（x₁-x₂）-1]． 
令F（t）=e^t-t-1，則F'（t）=e^t-1．
當(dāng)t＜0時，F(xiàn)'（t）＜0，F(xiàn)（t）單調(diào)遞減；當(dāng)t＞0時，F(xiàn)'（t）＞0，F(xiàn)（t）單調(diào)遞增．
故當(dāng)t=0，F(xiàn)（t）＞F（0）=0，即e^t-t-1＞0．
從而${e}^{{x}_{2}-{x}_{1}}$-（x₂-x₁）-1＞0，[${e}^{{x}_{1}-{x}_{2}}$-（x₁-x₂）-1＞0，
又$\frac{{e}^{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞0，$\frac{{e}^{{x}_{2}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞0，所以φ（x₁）＜0，φ（x₂）＞0．
因為函數(shù)y=φ（x）在區(qū)間[x₁，x₂]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，
且p≥q，即有px₁+qx₂與x₁靠近，
即有k＞f′（px₁+qx₂）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，涉及最大值、最小值的求法以及恒成立問題，是綜合題；關(guān)鍵是理解導(dǎo)數(shù)的符號與單調(diào)性的關(guān)系，并能正確求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．