Question

7．如圖：陰影部分是一個機械構(gòu)件．該構(gòu)件是由一塊半圓形鐵皮剪切后，剩下了弓形面CMD，及三角形ABC所形成的．其中半圓直徑AB=8，CD∥AB，點M是$\widehat{CD}$上一點，∠CBD=θ．
（1）求弓形面CMD的面積與θ的函數(shù)解析式k（θ）；
（2）求這個構(gòu)件的面積關(guān)于θ的函數(shù)解析式S（θ）；并求S（θ）的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用扇形面積-三角形面積求弓形面CMD的面積與θ的函數(shù)解析式k（θ）；
（2）求出三角形ABC的面積，可得構(gòu)件的面積關(guān)于θ的函數(shù)解析式S（θ）；利用導(dǎo)數(shù)求S（θ）的最小值．

解答 解：（1）由題意，∠COD=2θ，∴∠COB=90°-θ，
∴AB邊上的高為4sin（90°-θ）=4cosθ，CD=8sinθ
∴弓形面CMD的面積k（θ）=16θ-$\frac{1}{2}•8sinθ•4cosθ$=16θ-8sin2θ；
（2）三角形ABC的面積為$\frac{1}{2}×8×4cosθ$=16cosθ
∴S（θ）=16θ-8sin2θ+16cosθ
∴S′（θ）=16-16cos2θ-16sinθ=0，
∴sinθ=$\frac{1}{2}$，
∴函數(shù)在（0，$\frac{π}{6}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增，
∴θ=$\frac{π}{6}$，S（θ）的最小，最小值為$\frac{8}{3}π+4\sqrt{3}$．

點評 本題是中檔題，考查三角函數(shù)的應(yīng)用題中的應(yīng)用，三角函數(shù)的化簡求值，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．