Question

15．直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，3），點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，-3），且$\overrightarrow{AM}$=t$\overrightarrow{AB}$（t∈R）．
（1）若CM⊥AB，求t的值；
（2）當(dāng)0≤t≤1時(shí)，求直線CM的斜率k和傾斜角θ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示與數(shù)量積運(yùn)算，列出方程即可求出t的值；
（2）【解法一】根據(jù)題意求出AC與AB的斜率，寫(xiě)出斜率k的取值范圍，即可求出傾斜角θ的取值范圍；
【解發(fā)二】討論t的取值，求出直線CM的斜率取值范圍，即可求出傾斜角的取值范圍．

解答 解：（1）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示得，
$\overrightarrow{AB}$=（6，3），$\overrightarrow{AM}$=t$\overrightarrow{AB}$=（6t，3t），
$\overrightarrow{AC}$=（3，-3），$\overrightarrow{CM}$=$\overrightarrow{AM}$-$\overrightarrow{AC}$=（6t-3，3t+3），
∵$\overrightarrow{CM}$⊥$\overrightarrow{AB}$，∴$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{AB}$=45t-9=0，
∴t=$\frac{1}{5}$；（4分）
（2）【解法一】點(diǎn)M在線段AB上，AC的斜率k₁=-1，AB的斜率k₂=2，
∴直線CM的斜率滿足k≤-1，或k≥2，（8分）
∴傾斜角θ∈[arctan2，$\frac{3π}{4}$]；（10分）
【解法二】當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)，CM的斜率不存在；
當(dāng)t≠$\frac{1}{2}$時(shí)，CM的斜率k=$\frac{t+1}{2t-1}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{3}{2}}{2t-1}$在區(qū)間$[0，\frac{1}{2}）$和$（\frac{1}{2}，1]$單調(diào)遞減，（7分）
∴k∈（-∞，-1]∪[2，+∞]，
傾斜角θ∈[arctan2，$\frac{3π}{4}$]．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的坐標(biāo)表示與數(shù)量積的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了直線的斜率與傾斜角的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．