5.求值:
(1)sin6°sin42°sin66°sin78°;
(2)$\frac{sin50°(1+\sqrt{3}tan10°)-cos20°}{cos80°\sqrt{1-cos20°}}$.

分析 (1)直接利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)為余弦函數(shù),然后利用二倍角的正弦函數(shù)求解即可.
(2)利用三角恒等變換,先將所求關(guān)系式中的“切”化“弦”,再通分化簡,利用兩角和的正弦與二倍角的正弦及升冪公式、誘導(dǎo)公式即可求得答案.

解答 解:(1)sin6°sin42°sin66°sin78°
=sin6°cos12°cos24°cos48°
=$\frac{{2}^{4}cos6°sin6°cos12°cos24°cos48°}{{2}^{4}cos6°}$
=$\frac{8sin12°cos12°cos24°cos48°}{16cos6°}$
=$\frac{4sin24°cos24°cos48°}{16cos6°}$
=$\frac{2sin48°cos48°}{16cos6°}$
=$\frac{sin96°}{16cos6°}$
=$\frac{1}{16}$.
(2)原式=$\frac{sin50°(1+\sqrt{3}\frac{sin10°}{cos10°})-cos20°}{cos80°\sqrt{1-cos20°}}$
=$\frac{sin50°\frac{2sin(10°+30°)}{cos10°}-cos20°}{cos80°\sqrt{2{sin}^{2}10°}}$
=$\frac{\frac{sin80°}{cos10°}-cos20°}{\sqrt{2}{sin}^{2}10°}$
=$\frac{1-(1-2{sin}^{2}10)}{\sqrt{2}{sin}^{2}10°}$
=$\sqrt{2}$.

點評 本題(l)考查誘導(dǎo)公式及二倍角的正弦函數(shù)公式,是一道中檔題.此題的突破點是分子變形后給分子分母都乘以16cos6°以至于造成了一系列的連鎖反應(yīng).(2)考查三角函數(shù)的化簡求值,考查兩角和的正弦與二倍角的正弦及升冪公式、誘導(dǎo)公式的綜合運用,屬于難題.

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