Question

17．等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知對(duì)任意的n∈N⁺，點(diǎn)（n，S_n），均在函數(shù)y=2^x+r（r為常數(shù)）的圖象上．
（1）求r的值；
（2）記b_n=$\frac{n+1}{4{a}_{n}}$（n∈N⁺）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可得，S_n=2ⁿ+r，運(yùn)用n=1時(shí)，a₁=S₁，n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，即可得到r=-1；
（2）求得b_n=（n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理即可得到所求和．

解答 解：（1）由題意可得，S_n=2ⁿ+r，
n=1時(shí)，a₁=S₁=2+r，
n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
對(duì)n=1也成立，可得2+r=1，
解得r=-1；
（2）b_n=$\frac{n+1}{4{a}_{n}}$=（n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
前n項(xiàng)和T_n=2•$\frac{1}{4}$+3•$\frac{1}{8}$+…+（n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
$\frac{1}{2}$T_n=2•$\frac{1}{8}$+3•$\frac{1}{16}$+…+（n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺²，
兩式相減可得，$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹-（n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺²
=$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{1}{8}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺²，
化簡(jiǎn)可得前n項(xiàng)和T_n=$\frac{3}{2}$-$\frac{n+3}{{2}^{n+1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．