16.解不等式$\frac{4}{(2sinx+1)^{3}}+\frac{5}{2sinx+1}-4si{n}^{3}$x-5sinx>0.

分析 構(gòu)造函數(shù)f(x)=4x3+5x,問題轉(zhuǎn)化為f($\frac{1}{2sinx+1}$)>f(sinx),由導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性可得sinx的不等式,解不等式可得.

解答 解:原不等式可化為:4($\frac{1}{2sinx+1}$)3+5($\frac{1}{2sinx+1}$)>4sin3x+5sinx,
構(gòu)造函數(shù)f(x)=4x3+5x,則f′(x)=12x2+5>0,
∴函數(shù)f(x)=4x3+5x在R上單調(diào)遞增,
∴不等式可化為f($\frac{1}{2sinx+1}$)>f(sinx),
由單調(diào)性可得$\frac{1}{2sinx+1}$>sinx,
整理可得2sin2x+sinx-1<0,即(sinx+1)(2sinx-1)<0,
解得-1<sinx<$\frac{1}{2}$,由三角函數(shù)可得2kπ-$\frac{7π}{6}$<x<2kπ+$\frac{π}{6}$且x≠2kπ-$\frac{π}{2}$,k∈Z,
∴原不等式的解集為{x|2kπ-$\frac{7π}{6}$<x<2kπ+$\frac{π}{6}$且x≠2kπ-$\frac{π}{2}$,k∈Z}

點(diǎn)評 本題考查含三角函數(shù)的不等式的解集,轉(zhuǎn)化并利用函數(shù)的單調(diào)性是解決問題的關(guān)鍵,屬中檔題.

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