Question

2．已知函數(shù)$f（x）=x+\frac{a^2}{x}$，g（x）=x+lnx，其中a＞0．
（1）若x=1是函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，e]（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）都有f（x₁）≥g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過$h'（x）=2-\frac{a^2}{x^2}+\frac{1}{x}$、x=1是函數(shù)h（x）的極值點(diǎn)及a＞0，可得$a=\sqrt{3}$，再檢驗(yàn)即可；  
（2）通過分析已知條件等價(jià)于對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，e]都有[f（x）]_min≥[g（x）]_max．結(jié)合當(dāng)x∈[1，e]時(shí)及$g'（x）=1+\frac{1}{x}＞0$可知[g（x）]_max=g（e）=e+1．
利用$f'（x）=1-\frac{a^2}{x^2}=\frac{{（{x+a}）（{x-a}）}}{x^2}$，且x∈[1，e]，a＞0，分0＜a＜1、1≤a≤e、a＞e三種情況討論即可．

解答 解：（1）∵$f（x）=x+\frac{a^2}{x}$，g（x）=x+lnx，
∴$h（x）=2x+\frac{a^2}{x}+lnx$，其定義域?yàn)椋?，+∞），
∴$h'（x）=2-\frac{a^2}{x^2}+\frac{1}{x}$．        
∵x=1是函數(shù)h（x）的極值點(diǎn)，
∴h′（1）=0，即3-a²=0．
∵a＞0，∴$a=\sqrt{3}$．                                         
經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)$a=\sqrt{3}$時(shí)，x=1是函數(shù)h（x）的極值點(diǎn)，
∴$a=\sqrt{3}$；
（2）對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，e]都有f（x₁）≥g（x₂）成立等價(jià)于
對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，e]都有[f（x）]_min≥[g（x）]_max．
當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，$g'（x）=1+\frac{1}{x}＞0$．
∴函數(shù)g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函數(shù)．
∴[g（x）]_max=g（e）=e+1．
∵$f'（x）=1-\frac{a^2}{x^2}=\frac{{（{x+a}）（{x-a}）}}{x^2}$，且x∈[1，e]，a＞0．
①當(dāng)0＜a＜1且x∈[1，e]時(shí)，$f'（x）=\frac{{（{x+a}）（{x-a}）}}{x^2}＞0$，
∴函數(shù)$f（x）=x+\frac{a^2}{x}$在[1，e]上是增函數(shù)，
∴${[{f（x）}]_{min}}=f（1）=1+{a^2}$．
由1+a²≥e+1，得a≥$\sqrt{e}$，
又0＜a＜1，∴a不合題意；
②當(dāng)1≤a≤e時(shí)，
若1≤x＜a，則$f'（x）=\frac{{（{x+a}）（{x-a}）}}{x^2}＜0$，
若a＜x≤e，則$f'（x）=\frac{{（{x+a}）（{x-a}）}}{x^2}＞0$．
∴函數(shù)$f（x）=x+\frac{a^2}{x}$在[1，a）上是減函數(shù)，在（a，e]上是增函數(shù)．
∴[f（x）]_min=f（a）=2a．
由2a≥e+1，得a≥$\frac{e+1}{2}$，
又1≤a≤e，∴$\frac{e+1}{2}$≤a≤e；
③當(dāng)a＞e且x∈[1，e]時(shí)，$f'（x）=\frac{{（{x+a}）（{x-a}）}}{x^2}＜0$，
∴函數(shù)$f（x）=x+\frac{a^2}{x}$在[1，e]上是減函數(shù)．
∴${[{f（x）}]_{min}}=f（e）=e+\frac{a^2}{e}$．
由$e+\frac{a^2}{e}$≥e+1，得a≥$\sqrt{e}$，
又a＞e，∴a＞e；
綜上所述：a的取值范圍為$[{\frac{e+1}{2}，+∞}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于導(dǎo)數(shù)的綜合題，考查極值、最值等基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．