Question

16．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠ABD=∠ACE，CE=BD，
求證：（1）△ADE也為等腰直角三角形；
（2）BD⊥CE．

Answer 1

分析 （1）由已知條件推導(dǎo)出△ABD≌△ACE，從而得到AD=AE，∠EAC-∠CAD=∠DAB-∠CAD，進(jìn)而∠EAD=∠CAB=90°，由此能證明△ADE為等腰直角三角形．
（2）由已知∠ABC+∠ACB=180°-∠CAB=90°，∠DBC+∠BCE=90°，由此能證明BD⊥CE．

解答 （1）證明：∵AB=AC，∠ABD=∠ACE，CE=BD，
∴△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，∠EAC=∠DAB，
∴∠EAC-∠CAD=∠DAB-∠CAD，
∠EAD=∠CAB=90°，
所以△ADE為等腰直角三角形；
（2）證明：∠ABC+∠ACB=180°-∠CAB=90°，
∠ABD=∠ACE，
（∠ABC-∠ABD）+（∠ACB+∠ACE）=90°，
∠DBC+∠BCE=90°，
∠BFC=180°-（∠DBC+∠BCE）=90°，
∴BD⊥CE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形是等腰直角三角形的證明，考查兩直線垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角形全等的性質(zhì)的合理運(yùn)用．