Question

6．某園林局對1000株樹木的生長情況進(jìn)行調(diào)查，其中槐樹600株，銀杏樹400株．現(xiàn)用分層抽樣方法從這1000株樹木中隨機(jī)抽取100株，其中銀杏樹樹干周長（單位：cm）的抽查結(jié)果繪成頻率分布直方圖如圖：（直方圖中每個(gè)區(qū)間僅包含左端點(diǎn)）
（1）求直方圖中的x值；
（2）若已知樹干周長在30cm至40cm之間的4株銀杏樹中有1株患有蟲害，現(xiàn)要對這4株樹逐一進(jìn)行排查直至找出患蟲害的樹木為止．求排查的樹木恰好為2株的概率．

Answer 1

分析 （ 1）用分層抽樣方法從這1000株樹木中隨機(jī)抽取100株，應(yīng)該抽取銀杏樹的株數(shù)，由頻率分布直方圖可得銀杏樹樹干周長在[30，40）、[40，50）、[60，70）分別有多少株，由此能求出直方圖中的x值．
（2）記這4株樹為樹₁，樹₂，樹₃，樹₄，且不妨設(shè)樹₄為患蟲害的樹，記恰好在排查到第二株時(shí)發(fā)現(xiàn)患蟲害樹為事件A，則A是指第二次排查到的是樹₄，由此利用列舉法能求出恰好在排查到第二株時(shí)發(fā)現(xiàn)患蟲害的概率．

解答 解：（ 1）因?yàn)橛梅謱映闃臃椒◤倪@1000株樹木中隨機(jī)抽取100株，
所以應(yīng)該抽取銀杏樹100×$\frac{400}{1000}$=40株，（3分）
由頻率分布直方圖可得銀杏樹樹干周長在[30，40）、[40，50）、[60，70）分別有4、18、6株，
所以樹干周長在[50，60）有40-（4+18+6）=12株，
所以x=$\frac{3}{100}$=0.03．（6分）
（2）記這4株樹為樹₁，樹₂，樹₃，樹₄，且不妨設(shè)樹₄為患蟲害的樹，
記恰好在排查到第二株時(shí)發(fā)現(xiàn)患蟲害樹為事件A，則A是指第二次排查到的是樹₄，（8分）
因?yàn)榍笄『迷谂挪榈降诙�株時(shí)發(fā)現(xiàn)患蟲害樹的概率，所以基本事件為：
（樹₁，樹₂），（樹₁，樹₃），（樹₁，樹₄），（樹₂，樹₁），（樹₂，樹₃），（樹₂，樹₄），
（樹₃，樹₁），（樹₃，樹₂），（樹₃，樹₄），（樹₄，樹₁），（樹₄，樹₂），（樹₄，樹₃），
共計(jì)12個(gè)基本事件，（12分）
而事件A中包含的基本事件有（樹₁，樹₄），（樹₂，樹₄），（樹₃，樹₄），共計(jì)3個(gè)基本事件，
所以恰好在排查到第二株時(shí)發(fā)現(xiàn)患蟲害的概率P（A）=$\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$．（14分）

點(diǎn)評 本題考查頻率直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．