Question

5．設f（x）=（x²-$\frac{3}{m}$x+$\frac{5}{{m}^{2}}$）e^mx，其中實數(shù)m≠0．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調性；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）-$\frac{2}{m}$x-5恰有兩個零點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）討論f（x）的單調性，很容易想到求導數(shù)的辦法，通過導函數(shù)f′（x）的符號判斷單調性，注意到導函數(shù)中二次函數(shù)的部分，判別式的值以及m的符號判斷即可．
（Ⅱ）g（x）=f（x）-$\frac{2}{m}$x-5恰有兩個零點，轉化為方程有兩個解，轉化為兩個函數(shù)有兩個交點．判斷直線經(jīng)過的頂點，通過f（x）的導數(shù)，曲線的斜率，推出m 的范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（x²-$\frac{3}{m}$x+$\frac{5}{{m}^{2}}$）e^mx，其中實數(shù)m≠0．
可得f′（x）=（mx²-x+$\frac{2}{m}$）e^mx，其中實數(shù)m≠0．∵e^mx＞0，∴f′（x）的符號，只與mx²-x+$\frac{2}{m}$的符號有關．
令y=mx²-x+$\frac{2}{m}$，m≠0，△=1-4m$•\frac{2}{m}$=-7＜0．
當m＞0時，y＞0恒成立，此時f′（x）＞0，恒成立．函數(shù)在R上是增函數(shù)．
當m＜0時，y＜0恒成立，此時f′（x）＜0，恒成立．函數(shù)在R上是減函數(shù)．
（Ⅱ）g（x）=f（x）-$\frac{2}{m}$x-5恰有兩個零點，即f（x）=$\frac{2}{m}$x+5恰有兩個解，
也就是f（x）=（x²-$\frac{3}{m}$x+$\frac{5}{{m}^{2}}$）e^mx，與g（x）=$\frac{2}{m}$x+5有兩個交點．
因為g（x）=$\frac{2}{m}$x+5恒過（0，5），當m=1時，f（x）=（x²-3x+5）e^x，經(jīng)過（0，5），并且f′（x）=（x²-x+2）e^x，此時f′（0）=2，g（x）=2x+5的斜率也為2，如圖：

當m＞1時．兩個函數(shù)有兩個交點．
當m∈（0，1）時，f（x）經(jīng)過（0，$\frac{5}{{m}^{2}}$），$\frac{5}{{m}^{2}}＞5$，此時兩個函數(shù)至多有一個交點．
當m＜0時，兩個函數(shù)都是減函數(shù)，m=-1時，兩個函數(shù)的圖象如圖：
m＜-1時，兩個函數(shù)有兩個交點．

綜上，m＜-1或m＞1．

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應用，函數(shù)的單調性以及函數(shù)的零點的個數(shù)，考查轉化思想以及數(shù)形結合思想的應用，難度比較大．