Question

7．已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足acosC+ccosA=2bcosB，b=$\sqrt{3}$
（1）求角B；
（2）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化簡(jiǎn)，結(jié)合和與差的公式，即可求出B的值．
（2）利用余弦定理建立關(guān)系，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)即可求△ABC面積的最大值．

解答 解：（1）∵acosC+ccosA=2bcosB
由正弦定理，化簡(jiǎn)可得：sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB
∴sinB=2sinBcosB
∵0＜B＜π，sinB≠0
可得cosB=$\frac{1}{2}$
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）由b=$\sqrt{3}$，cosB=$\frac{1}{2}$
余弦定理，cosB=$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，
即a²+c²=ac+3，
∴ac+3≥2ac，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，取等號(hào)．
∴ac≤3
那么：△ABC面積S=$\frac{1}{2}$acsinB$≤\frac{1}{2}×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
故得△ABC面積的最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正余弦定理的靈活運(yùn)用和基本不等式的性質(zhì)的運(yùn)用和計(jì)算能力．屬于基礎(chǔ)題．