Question

8．已知點(diǎn)P（a，b）在圓C：x²+y²=x+y（x，y∈（0，+∞））上，
（1）求$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值；
（2）是否存在a，b，滿足（a+1）（b+1）=4？如果存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）整理所給的代數(shù)式，結(jié)合均值不等式的結(jié)論即可求得最小值；
（2）利用題意首先求得a+b的范圍，然后結(jié)合均值不等式的結(jié)論求解原問題即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{a}+\frac{1}=\frac{a+b}{ab}=\frac{{{a^2}+{b^2}}}{ab}≥\frac{2ab}{ab}=2$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)，等號成立．
所以$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值為2．
（2）存在．
因?yàn)閍²+b²≥2ab，所以（a+b）²≤2（a²+b²）=2（a+b），
所以（a+b）²-2（a+b）≤0，
又a，b∈（0，+∞），所以0＜a+b≤2．
從而有$（{a+1}）（{b+1}）≤{[{\frac{{（{a+1}）+（{b+1}）}}{2}}]^2}≤{[{\frac{2+2}{2}}]^2}=4$，
因此存在a=1，b=1，滿足（a+1）（b+1）=4．

點(diǎn)評 本題考查均值不等式及其應(yīng)用，重點(diǎn)考查學(xué)生對基礎(chǔ)概念的理解和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．