Question

7．已知二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c，其中常數(shù)b，c∈R．
（Ⅰ）若任意的x∈[-1，1]，f（x）≥0，f（2+x）≤0，試求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（Ⅱ）若對(duì)任意的x₁，x₂∈[-1，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，試求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若任意的x∈[-1，1]，f（x）≥0，f（2+x）≤0，可得是f（1）=0，即1為函數(shù)函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)．由韋達(dá)定理，可得函數(shù)f（x）的另一個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（Ⅱ）若對(duì)任意的x₁，x₂∈[-1，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，f（x）_max-f（x）_min≤4，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分類(lèi)討論，可得實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閤∈[-1，1]，則2+x∈[1，3]，
由已知，有對(duì)任意的x∈[-1，1]，f（x）≥0恒成立，
任意的x∈[1，3]，f（x）≤0恒成立，
故f（1）=0，即1為函數(shù)函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)．
由韋達(dá)定理，可得函數(shù)f（x）的另一個(gè)零點(diǎn)，
又由任意的x∈[1，3]，f（x）≤0恒成立，
∴[1，3]⊆[1，c]，
即c≥3
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=x²+bx+c對(duì)任意的x₁，x₂∈[-1，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤4恒成立，
即f（x）_max-f（x）_min≤4，
記f（x）_max-f（x）_min=M，則M≤4．
當(dāng)|$-\frac{2}$|＞1，即|b|＞2時(shí)，M=|f（1）-f（-1）|=|2b|＞4，與M≤4矛盾；
當(dāng)|$-\frac{2}$|≤1，即|b|≤2時(shí)，M=max{f（1），f（-1）}-f（$-\frac{2}$）=$\frac{f（1）+f（-1）+|f（1）-f（-1）|}{2}$-f（$-\frac{2}$）=（1+$\frac{\left|b\right|}{2}$）²≤4，
解得：|b|≤2，
即-2≤b≤2，
綜上，b的取值范圍為-2≤b≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．