Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C由圓弧C₁和圓弧C₂相接而成，兩相接點M、N均在直線x=3上，圓弧C₁的圓心是坐標(biāo)原點O，半徑為5，圓弧C₂過點A（-1，0）．
（1）求圓弧C₂的方程；
（2）曲線C上是否存在點P，滿足PA=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$PO？若存在，指出有幾個這樣的點；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由圓弧C₁所在圓的方程求出M、N的坐標(biāo)，求出直線AM的中垂線方程與直線MN中垂線方程，再求出圓弧C₂所在圓的圓心和半徑，即可求出圓弧C₂所在圓的方程；
（2）先假設(shè)存在這樣的點P（x，y），根據(jù)條件和兩點的距離公式列出方程化簡，求出點P的軌跡方程，分別與圓弧C₁的方程、圓弧C₂的方程聯(lián)立后求出P的坐標(biāo)即可得到答案．

解答 解：（1）圓弧C₁所在圓的方程為x²+y²=25，
令x=3，解得M（3，4），N（3，-4），
∵圓弧C₂過點A（-1，0），
∴直線AM的中垂線方程為y-2=-（x-1），
∵直線MN的中垂線方程y=0上，
∴令y=0，得圓弧C₂所在圓的圓心為O₂（3，0），
∴圓弧C₂所在圓的半徑為r₂=|O₂A|=4，
∴圓弧C₂的方程為（x-3）²+y²=16（-1≤x≤3）；（6分）
（2）假設(shè)存在這樣的點P（x，y），
由$PA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}PO$得，$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
化簡得，x²+y²+4x+2=0，（8分）
∴點P的軌跡方程是x²+y²+4x+2=0，
由$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}+4x+2=0}\\{{x^2}+{y^2}=25（-5≤x≤3）}\end{array}}\right.$，
解得$x=-\frac{27}{4}$（舍去），
由$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}+4x+2=0}\\{{{（x-3）}^2}+{y^2}=16（-1≤x≤3）}\end{array}}\right.$，
解得$x=-\frac{9}{10}，y=±\frac{{\sqrt{79}}}{10}$，
綜上知的，這樣的點P存在2個．（12分）

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的方程求法：幾何法，以及兩點間的距離公式，考查了方程思想，化簡、計算能力，屬于中檔題．