Question

6．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在x=$\frac{π}{6}$取得最大值2，方程f（x）=0的兩個根為x₁、x₂，且|x₁-x₂|的最小值為π．
（1）求f（x）；
（2）將函數(shù)y=f（x）圖象上各點的橫坐標壓縮到原來的$\frac{1}{2}$，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的單調增區(qū)間和在（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）上的值域．

Answer 1

分析 （1）由最值求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調性、定義域和值域，求得結論．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在x=$\frac{π}{6}$取得最大值2，∴A=2，
方程f（x）=0的兩個根為x₁、x₂，且|x₁-x₂|的最小值為$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=π，∴ω=1，
再根據(jù)五點法作圖可得1•$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$，∴$f（x）=2sin（x+\frac{π}{3}）$．
（2）將函數(shù)y=f（x）圖象上各點的橫坐標壓縮到原來的$\frac{1}{2}$，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，可得函數(shù)g（x）的增區(qū)間為[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
在（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）上，∵2x+$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），∴g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈（-1，2]．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由最值求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值．函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調性、定義域和值域，屬于中檔題．