Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜π），y=f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是$（\frac{π}{3}，0）$．
（Ⅰ）求φ； 
（Ⅱ）在給定的平面直角坐標(biāo)系中作出該函數(shù)在x∈[0，π]的圖象；
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）≥1（x∈R）的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱中心代入即可求φ； 
（Ⅱ）利用五點(diǎn)法即可在給定的平面直角坐標(biāo)系中作出該函數(shù)在x∈[0，π]的圖象；
（Ⅲ）結(jié)合三角不等式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$（\frac{π}{3}，0）$是函數(shù)y=f（x）的圖象的對(duì)稱中心，
∴$2sin（2×\frac{π}{3}+φ）=0$，∴$\frac{2π}{3}+φ=kπ（k∈Z）$，
∴$φ=kπ-\frac{2π}{3}$∵0＜φ＜π，∴$φ=\frac{π}{3}$，
即$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{3}}）$．
（Ⅱ）列表

x	0	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$	π
$2x+\frac{π}{3}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π	$\frac{7π}{3}$
f（x）	$\sqrt{3}$	2	0	-2	0	$\sqrt{3}$

（Ⅲ）∵f（x）≥1，
即$2sin（2x+\frac{π}{3}）≥1$$sin（2x+\frac{π}{3}）≥\frac{1}{2}$，$\frac{π}{6}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{5π}{6}+2kπ，k∈Z$．
∴$-\frac{π}{12}+kπ≤x≤\frac{π}{4}+kπ，k∈Z$，
求函數(shù)f（x）≥1（x∈R）的解集是$x∈[-\frac{π}{12}+kπ，\frac{π}{4}+kπ]，k∈Z$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)條件求出φ的值是解決本題的關(guān)鍵．