Question

19．已知函數(shù)f（x）=2|x-2|+ax（x∈R）．
（1）當(dāng)f（x）有最小值時，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)h（x）=f（sinx）-2存在零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先把f（x）寫出分段函數(shù)，要使得f（x）有最小值，a+2≥0且a-2≤0；
（2）函數(shù)h（x）=f（sinx）-2存在零點等價于“方程（a-2）sinx+2=0有解“，亦即$sinx=-\frac{2}{a-2}$有解．

解答 解：（1）$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{（{a+2}）x-4，x≥2}\\{（{a-2}）x+4，x＜2}\end{array}}\right.$，要使函數(shù)f（x）有最小值，
需$\left\{\begin{array}{l}{a+2≥0}\\{a-2≤0}\end{array}\right.$∴-2≤a≤2，故a的取值范圍為[-2，2]．

（2）∵sinx∈[-1，1]，
∴f（sinx）=（a-2）sinx+4，
“h（x）=f（sinx）-2=（a-2）sinx+2存在零點”等價于
“方程（a-2）sinx+2=0有解“，亦即$sinx=-\frac{2}{a-2}$有解，
∴$-1≤-\frac{2}{a-2}≤1$，解得a≤0或a≥4，
∴a的取值范圍為（-∞，0]∪[4，+∞）．

點評 本題主要考查了絕對值函數(shù)與分段函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)零點、等價轉(zhuǎn)化思想，屬中等題．