Question

19．已知函數(shù)f（x）=2|x-2|+ax（x∈R）．
（1）當(dāng)f（x）有最小值時(shí)，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)h（x）=f（sinx）-2存在零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先把f（x）寫出分段函數(shù)，要使得f（x）有最小值，a+2≥0且a-2≤0；
（2）函數(shù)h（x）=f（sinx）-2存在零點(diǎn)等價(jià)于“方程（a-2）sinx+2=0有解“，亦即$sinx=-\frac{2}{a-2}$有解．

解答 解：（1）$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{（{a+2}）x-4，x≥2}\\{（{a-2}）x+4，x＜2}\end{array}}\right.$，要使函數(shù)f（x）有最小值，
需$\left\{\begin{array}{l}{a+2≥0}\\{a-2≤0}\end{array}\right.$∴-2≤a≤2，故a的取值范圍為[-2，2]．

（2）∵sinx∈[-1，1]，
∴f（sinx）=（a-2）sinx+4，
“h（x）=f（sinx）-2=（a-2）sinx+2存在零點(diǎn)”等價(jià)于
“方程（a-2）sinx+2=0有解“，亦即$sinx=-\frac{2}{a-2}$有解，
∴$-1≤-\frac{2}{a-2}≤1$，解得a≤0或a≥4，
∴a的取值范圍為（-∞，0]∪[4，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了絕對(duì)值函數(shù)與分段函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)零點(diǎn)、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，屬中等題．