Question

19．若lnx＜x²+$\frac{a}{x}$在（1，+∞）上恒成立，則a的取值范圍是[-1，+∞）．

Answer 1

分析 利用參數(shù)分離做此題比較簡單，把a和含x的式子放在不等號的兩邊，最含x的式子，利用導(dǎo)數(shù)求其最值，即可得a的范圍．

解答 解：∵lnx＜x²+$\frac{a}{x}$，
∴a＞xlnx-x³，令h（x）=xlnx-x³，只要求得h（x）的最大值即可，
h′（x）=lnx+1-3x²，h″（x）=$\frac{1-6{x}^{2}}{x}$，∵x＞1，∴1-6x²＜0，
∴h″（x）＜0，∴h′（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，
∴h′_max（x）=h′（1）=-2＜0，
∴h′（x）在（1，+∞）小于0，
∴h（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，
∴h_max（x）=h（1）=-1＜0，∴a＞-1
又∵x≠1，∴a可以等于-1，
∴a≥-1．
故答案為：[-1，+∞）．

點評 此題主要考查了參數(shù)分離思想，這也是高考愛考的熱點問題，解此題時要注意函數(shù)的二次求導(dǎo)問題，此題是一道好題．