Question

7．求函數(shù)y=1-2cos²x+5sinx的最大值和最小值．

Answer 1

分析 運(yùn)用同角的平方關(guān)系和換元法，令t=sinx（-1≤t≤1），則y=2t²+5t-1，運(yùn)用二次函數(shù)的值域求法，即可得到最值．

解答 解：函數(shù)y=1-2cos²x+5sinx
=1-2（1-sin²x）+5sinx
=2sin²x+5sinx-1
令t=sinx（-1≤t≤1），
則y=2t²+5t-1
=2（t+$\frac{5}{4}$）²-$\frac{33}{8}$，
對(duì)稱軸為t=-$\frac{5}{4}$，
即有區(qū)間[-1，1]為增區(qū)間，
當(dāng)t=-1，即x=2k$π-\frac{π}{2}$，k∈Z時(shí)，
y取得最小值，且為-4；
當(dāng)t=1，即x=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z時(shí)，
y取得最大值，且為6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最值，主要考查正弦函數(shù)的值域，同時(shí)考查換元法和二次函數(shù)的值域求法，屬于中檔題．