Question

11．給出下列四個命題：
①“?x∈R，x²-x＞0”的否定是“?x∈R，x²-x≤0”；
②對于任意實數(shù)x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）且x＞0時，f′（x）＞0，g′（x）＞0，則x＜0時，f′（x）＞g′（x）
③函數(shù)f（x）=log_a$\frac{3+x}{3-x}$（a＞0，a≠1）是偶函數(shù)；
④已知a＞0，則x₀滿足關(guān)于x的方程ax=b的充要條件是“?x∈R，$\frac{1}{2}$ax²-bx≥$\frac{1}{2}$ax₀²-bx₀”，其中真命題的個數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①利用命題的否定即可判斷出正誤；
②利用函數(shù)的奇偶性、導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可判斷出正誤；
③先判定函數(shù)的奇偶性，即可判斷出正誤；
④由于y=$\frac{1}{2}$ax²-bx的頂點為x=$\frac{a}$，因此x₀滿足關(guān)于x的方程ax=b⇒“?x∈R，$\frac{1}{2}$ax²-bx≥$\frac{1}{2}$ax₀²-bx₀”，而反之不成立．

解答 解：①“?x∈R，x²-x＞0”的否定是“?x∈R，x²-x≤0”，正確；
②對于任意實數(shù)x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）且x＞0時，f′（x）＞0，g′（x）＞0，說明在x＞0時，奇函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，偶函數(shù)g（x）也單調(diào)遞增；因此當(dāng)x＜0時，必有奇函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，偶函數(shù)g（x）也單調(diào)遞減，因此x＜0時，f′（x）＞0＞g′（x），正確；
③∵$f（-x）=lo{g}_{a}\frac{3-x}{3+x}$=-f（x），且定義域為（-3，3），關(guān)于原點對稱，因此函數(shù)f（x）=log_a$\frac{3+x}{3-x}$（a＞0，a≠1）是奇函數(shù)，故不正確；
④由于y=$\frac{1}{2}$ax²-bx的頂點為$x=-\frac{-b}{2×\frac{1}{2}a}$=$\frac{a}$，因此x₀滿足關(guān)于x的方程ax=b⇒“?x∈R，$\frac{1}{2}$ax²-bx≥$\frac{1}{2}$ax₀²-bx₀”，而反之不成立，因此a＞0，則x₀滿足關(guān)于x的方程ax=b的必要條件是“?x∈R，$\frac{1}{2}$ax²-bx≥$\frac{1}{2}$ax₀²-bx₀”，故不正確．
綜上可得：真命題的個數(shù)為2．
故選：B．

點評 本題考查了簡易邏輯的判定方法、函數(shù)的奇偶性單調(diào)性的判定、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．