Question

13．已知m＞0，函數f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-mlnx，g（x）=x²-（m+1）x+1．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）命題p：f（x）在區(qū)間[3，+∞）上為增函數；命題q：關于x的方程g（x）=0有實根．若（?p）∧q是真命題，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導數，利用導數的正負求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）利用二次函數的單調性、一元二次方程有實數根與判別式的關系、復合命題的真假判斷方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=x-\frac{m}{x}=\frac{{{x^2}-m}}{x}$，定義域x＞0，
當$0＜x＜\sqrt{m}$時，f'（x）＜0，當$x＞\sqrt{m}$時，f'（x）＞0
∴f（x）的單增區(qū)間為$（\sqrt{m}，+∞）$，單減區(qū)間為$（0，\sqrt{m}）$…（5分）
（Ⅱ）若p為真，則$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{m}≤3\\ m＞0\end{array}\right.$，∴0＜m≤9，則^?p為：m＞9
若q為真，則△=（m+1）²-4≥0且m＞0，得m≥1
依題意（^?p）∧q為真，則$\left\{\begin{array}{l}m＞9\\ m≥1\end{array}\right.$，∴m＞9…（10分）

點評 本題考查了導數知識的運用，考查函數的單調性，考查利用二次函數的單調性、一元二次方程有實數根與判別式的關系、復合命題的真假判斷方法，考查了推理能力，屬于中檔題．