Question

13．已知m＞0，函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-mlnx，g（x）=x²-（m+1）x+1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）命題p：f（x）在區(qū)間[3，+∞）上為增函數(shù)；命題q：關(guān)于x的方程g（x）=0有實(shí)根．若（?p）∧q是真命題，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）利用二次函數(shù)的單調(diào)性、一元二次方程有實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系、復(fù)合命題的真假判斷方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=x-\frac{m}{x}=\frac{{{x^2}-m}}{x}$，定義域x＞0，
當(dāng)$0＜x＜\sqrt{m}$時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)$x＞\sqrt{m}$時(shí)，f'（x）＞0
∴f（x）的單增區(qū)間為$（\sqrt{m}，+∞）$，單減區(qū)間為$（0，\sqrt{m}）$…（5分）
（Ⅱ）若p為真，則$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{m}≤3\\ m＞0\end{array}\right.$，∴0＜m≤9，則^?p為：m＞9
若q為真，則△=（m+1）²-4≥0且m＞0，得m≥1
依題意（^?p）∧q為真，則$\left\{\begin{array}{l}m＞9\\ m≥1\end{array}\right.$，∴m＞9…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查利用二次函數(shù)的單調(diào)性、一元二次方程有實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系、復(fù)合命題的真假判斷方法，考查了推理能力，屬于中檔題．