Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lgx|，x＞0}\\{1-{x}^{2}，x≤0}\end{array}\right.$，則方程f（x²-2x）=a（a≥0）的不同實數(shù)根的個數(shù)不可能為（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6．

Answer 1

分析 利用換元法設t=x²-2x，分別作出函數(shù)a=f（t），以及t=x²-2x的圖象，結合函數(shù)的圖象分別討論a的值，進行求解判斷即可．

解答 解：作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lgx|，x＞0}\\{{1-x}^{2}，x≤0}\end{array}\right.$的圖象如右圖，

∵x²-2x=（x-1）²-1；
∴設t=x²-2x，

①若a＞1，由f（t）=a得方程有一個根t∈（0，1），
當t∈（0，1）時，t=x²-2x，有兩個根，則此時，f（x²-2x）=a（a≥0）有2個根，
②若a=1，由f（t）=a得方程有一個根t=0，另外一個根t∈（0，1），
當t∈（0，1）時，t=x²-2x，有兩個根，
當t=0時，t=x²-2x，有兩個根，則此時，f（x²-2x）=a（a≥0）有4個根，
③若0＜a＜1，由f（t）=a得方程有三個根，一個根t∈（-1，0），一個t∈（1，+∞），另外一個根t∈（0，1），
當t∈（-1，0）時，t=x²-2x，有兩個根，
當t∈（0，1）時，t=x²-2x，有兩個根，
當t∈（1，+∞）時，t=x²-2x，有兩個根，
則此時，f（x²-2x）=a（a≥0）有6個根，
④若a=0，由f（t）=a得方程有一個根t=1，另外一個根t=-1，
當t=-1時，t=x²-2x，有1個根，
當t=1時，t=x²-2x，有兩個根，則此時，f（x²-2x）=a（a≥0）有3個根，
即當a≥0時，方程根的個數(shù)為2，3，4，6，
故不可能是5個，
故選：C

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應用，利用換元法轉化兩個函數(shù)，利用函數(shù)圖象的交點個數(shù)分別進行判斷是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．