Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω，φ是常數(shù)，ω＞0）．若f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{3}$，1]上具有單調(diào)性，且f（0）=f（$\frac{2}{3}$）=-f（1），則下列有關(guān)f（x）的每題正確的有
①②④
（請?zhí)钌纤�有正確命題的序號）．
①f（x）的最小周期為2；    
②x=$\frac{1}{3}$是 f（x）的對稱軸；
③f（x）在[1，$\frac{5}{3}$]上具有單調(diào)性；  
④y=f（x+$\frac{5}{6}$）為奇函數(shù)．

Answer 1

分析 由題意可得可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{1}{3}$對稱，且一個相鄰的對稱中心為（$\frac{5}{6}$，0），由此判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論．

解答 解：由f（0）=f（$\frac{2}{3}$）=-f（1），可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{0+\frac{2}{3}}{2}$=$\frac{1}{3}$對稱，且一個對稱中心為（$\frac{5}{6}$，0）．
故有$\frac{T}{4}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{5}{6}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$，故函數(shù)的周期為2，f（x+$\frac{5}{6}$）為奇函數(shù)，故①②④正確．
由以上可得ω=π，再結(jié)合 $\frac{5}{6}$•π+φ=kπ，k∈z，可取φ=$\frac{π}{6}$，f（x）=sin（πx+$\frac{π}{6}$）．
在[1，$\frac{5}{3}$]上，πx+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{7π}{6}$，$\frac{11π}{6}$]，故f（x）在[1，$\frac{5}{3}$]上沒有單調(diào)性，故③不對．
故答案為：①②④．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象特征，屬于基礎(chǔ)題．