Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2x-1

+a（a∈R）為奇函數(shù)，函數(shù)g（x）=m•2^x-m．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）在x∈（0，+∞）的單調(diào)性并用定義證明；
（3）若在區(qū)間（-∞，0）上，y=f（x）的圖象恒在y=g（x）的圖象的下方，試確定實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意，f（-x）=

1

2-x-1

+a=-（

1

2x-1

+a）；從而解a；從而得到函數(shù)f（x）的解析式；
（2）先判斷，后用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性證明；
（3）在區(qū)間（-∞，0）上，y=f（x）的圖象恒在y=g（x）的圖象的下方可化為

2x-2m(2x-1)2

2(2x-1)

＜0在區(qū)間（-∞，0）上恒成立；從而化為最值問(wèn)題．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

2x-1

+a為奇函數(shù)，
∴f（-x）=

1

2-x-1

+a=-（

1

2x-1

+a）；
則2a=-

1

2x-1

-

1

2-x-1

=1；
故a=

1

2

；
則f（x）=

1

2x-1

+

1

2

；
（2）f（x）在x∈（0，+∞）上是減函數(shù)，證明如下，
∵y=2^x-1在（0，+∞）上是增函數(shù)，且y＞0；
又∵y=

1

x

在（0，+∞）上是減函數(shù)，
故f（x）=

1

2x-1

+

1

2

在（0，+∞）上是減函數(shù)．
（3）f（x）-g（x）=

1

2x-1

+

1

2

-m（2^x-1）
=

2x-2m(2x-1)2

2(2x-1)

，
∵在區(qū)間（-∞，0）上，y=f（x）的圖象恒在y=g（x）的圖象的下方，
∴

2x-2m(2x-1)2

2(2x-1)

＜0在區(qū)間（-∞，0）上恒成立；
∵2^x-1＜0，
故2^x-2m（2^x-1）²＞0；
故m＜

2x

2(2x-1)2

；
令F（x）=

2x

2(2x-1)2

=

1

2(2x+ 1 2x )-4

，
∵x∈（-∞，0），
∴2^x∈（0，1）；
∴

1

2(2x+ 1 2x )-4

＞0；
故m≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用及恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．