Question

已知函數(shù)f（x）=|2x-a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤5的解集為{x|-2≤x≤3}，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若存在實數(shù)x使f（x）≤m-f（-x）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由|2x-a|≤5，可得a-5≤2x≤a+5，再根據(jù)已知條件可得a-5=-4且a+5=6，從而求得a的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=|2x-1|，令h（x）=f（x）+f（-x），則由題意可得存在實數(shù)x使m≥h（x）成立，求得h（x）的最小值，可得實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由|2x-a|≤5，可得a-5≤2x≤a+5，再根據(jù)不等式f（x）≤5的解集為{x|-2≤x≤3}，
可得a-5=-4且a+5=6，∴a=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=|2x-1|，令h（x）=f（x）+f（-x），則由題意可得存在實數(shù)x使m≥h（x）成立，
由于h（x）=|2x-1|+|2x+1|=

-4x，x≤- 1 2 2，- 1 2 ＜x≤ 1 2 4x，x＞ 1 2

，∴h（x）的最小值為2，
故實數(shù)m的取值范圍是[2，+∞）．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的能成立問題，屬于基礎(chǔ)題．