如圖，在直三棱柱ABC-A
1B
1C
1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA
1=2，E是BC中點．
（Ⅰ）求證：A
1B∥平面AEC
1；
（Ⅱ）求點A
1到平面AEC
1的距離．
考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定
專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（I）連接A1C交AC1于點O，連接EO，由已知得EO∥A1B，由此能證明A1B∥平面AEC1．
（Ⅱ）以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此能求出點A1到平面AEC1的距離．
解答：
（I）證明：連接A
1C交AC
1于點O，連接EO，
因為ACC
1A
1為正方形，所以O(shè)為A
1C中點，
又E為CB中點，所以EO為△A
1BC的中位線，
所以EO∥A
1B，
又EO?平面AEC
1，A
1B不包含于平面AEC
1，
所以A
1B∥平面AEC
1．
（Ⅱ）解：以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AA
1為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
A（0，0，0），A
1（0，0，2），E（1，1，0），C
1（0，2，2），
=（0，0，2），
=（1，1，0），
=（0，2，2），
設(shè)平面AEC
1的法向量為
=（x，y，z），
則
，
取y=-1，得
=(1，-1，1)，
∴點A
1到平面AEC
1的距離d=
=
=
．
∴點A
1到平面AEC
1的距離為
．
點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
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已知函數(shù)f（x）=x2-2x+4，g（x）=|x-1-a|+|x-2|；
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間x∈[-1，m]（m＞-1）上的值域；
（2）若對于任意的實數(shù)x，不等式f（x）-g（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué)
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題型：
設(shè)x，y，z∈R，且x+2y+3z=1
（1）當(dāng)z=1，|x+y|+|y+1|＞2時，求x的取值范圍；
（2）當(dāng)x，y，z∈R
+時，求u=
++的最小值．
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題型：
已知函數(shù)f（x）滿足：f2（x）-2f（x）f（x+1）+2f（x+1）=0（x∈R），
（1）用反證法證明：f（x）不可能為正比例函數(shù)；
（2）若f（0）=4，求f（1）、f（2）的值，并用數(shù)學(xué)歸納法證明：對任意的x∈N*，均有：2＜f（x）＜3．
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科目：高中數(shù)學(xué)
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題型：
已知函數(shù)f（x）=|2x-a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤5的解集為{x|-2≤x≤3}，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若存在實數(shù)x使f（x）≤m-f（-x）成立，求實數(shù)m的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
設(shè)A={（x，y）|x+y＜3，x∈N，y∈N}，B={0，1，2}，f：（x，y）→x+y，這個對應(yīng)是否為映射？是否為映射，是否是函數(shù)，說明原因．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
設(shè)sinα、cosα是關(guān)于x的方程2x2+4kx+3k=0的兩個實數(shù)根，求k的值．
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科目：高中數(shù)學(xué)
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題型：
已知函數(shù)f（x）=ax
2+bx+c的圖象在點（1，f（1））的切線l過點（0，c-1）
（1）求a的值
（2）當(dāng)b=2c＞0時，函數(shù)F（x）=x[f（x）+c
2-c]對任意x
1，x
2∈[-c，c]，不等式|F（x
1）-F（x
2）|≤
c恒成立，求c的最大值．
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科目：高中數(shù)學(xué)
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題型：
設(shè)函數(shù)f（x）=
（x≠0且x≠1），則f（x）+f（
）=
．
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