Question

5．平面直角坐標(biāo)系x0y中，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，左、右焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，以F₁為圓心以3為半徑的圓與以F₂為圓心以1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)P（x₀，y₀）（y₀≠0）的直線1：$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{^{2}}$=1，過(guò)F₂與x軸垂直的直線記為l₁，右準(zhǔn)線記為l₂；
①設(shè)直線l與直線l₁相交于點(diǎn)M，直線1與直線l₂相交于點(diǎn)N．證明$\frac{M{F}_{2}}{N{F}_{2}}$恒為定值，并求此定值．
②若連接F₁P并延長(zhǎng)與直線l₂相交于點(diǎn)Q．橢圓C的右頂點(diǎn)A，設(shè)直線PA的斜率為k₁，直線QA的斜率為k₂，求k₁•k₂的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）以F₁為圓心以3為半徑的圓與以F₂為圓心以1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)E在橢圓C上．可得|EF₁|+|EF₂|=3+1=2a，解得a．又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，解得c，b²，即可得出．
（2）①直線l₁：x=1，直線l₂：x=4．把x=1代入直線1，解得y，可得M坐標(biāo)．同理可得N坐標(biāo)．又${y}_{0}^{2}$=$\frac{3（4-{x}_{0}^{2}）}{4}$．利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得$\frac{|M{F}_{2}|}{|N{F}_{2}|}$=$\frac{1}{2}$為定值．
②由$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{3}$=1，解得${y}_{0}^{2}$=$3（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{4}）$．直線l₁的方程為：x=1；直線l₂的方程為：x=4．直線PF₁的方程為：y-0=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$（x+1），由于-1＜x₀＜2，可得$\frac{1}{{x}_{0}+1}$∈$（\frac{1}{3}，+∞）$．即可得出k₁k₂，利用函數(shù)的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）以F₁為圓心以3為半徑的圓與以F₂為圓心以1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)E在橢圓C上．
∴|EF₁|+|EF₂|=3+1=2a，解得a=2．
又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，解得c=1，b²=3．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）①證明：直線l₁：x=1，直線l₂：x=4．
把x=1代入直線1：$\frac{{x}_{0}x}{4}+\frac{{y}_{0}y}{3}$=1，解得y=$\frac{3（4-{x}_{0}）}{4}$，∴M$（1，\frac{3（4-{x}_{0}）}{4{y}_{0}}）$．
把x=4代入直線1方程，解得y=$\frac{3（1-{x}_{0}）}{{y}_{0}}$，∴N$（4，\frac{3（1-{x}_{0}）}{{y}_{0}}）$．
又${y}_{0}^{2}$=$\frac{3（4-{x}_{0}^{2}）}{4}$．
∴$\frac{|M{F}_{2}|}{|N{F}_{2}|}$=$\frac{|\frac{3（4-{x}_{0}）}{4{y}_{0}}|}{\sqrt{{3}^{2}+\frac{9（1-{x}_{0}）^{2}}{{y}_{0}^{2}}}}$=$\frac{1}{2}$為定值．
②解：由$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{3}$=1，解得${y}_{0}^{2}$=$3（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{4}）$．（-2≤x₀＜2），x₀≠-1．
直線l₁的方程為：x=1；直線l₂的方程為：x=4．
直線PF₁的方程為：y-0=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$（x+1），
令x=4，可得y_Q=$\frac{5{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$．
∴Q$（4，\frac{5{y}_{0}}{{x}_{0}+1}）$．
∴k₁=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，k₂=$\frac{\frac{5{y}_{0}}{{x}_{0}+1}-0}{4-2}$=$\frac{5{y}_{0}}{2（{x}_{0}+1）}$．
∴k₁k₂=$\frac{5{y}_{0}^{2}}{2（{x}_{0}-2）（{x}_{0}+1）}$=$\frac{15（4-{x}_{0}^{2}）}{8（{x}_{0}-2）（{x}_{0}+1）}$=$\frac{-15（{x}_{0}+2）}{8（{x}_{0}+1）}$=$-\frac{15}{8}$$（1+\frac{1}{{x}_{0}+1}）$，
∵-1＜x₀＜2，
∴$\frac{1}{{x}_{0}+1}$∈$（\frac{1}{3}，+∞）$．
∴k₁k₂∈$（-∞，-\frac{5}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、圓的方程、直線與橢圓相交問(wèn)題、斜率計(jì)算公式、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．