Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{alnx+b}{e^x}$（a，b為常數(shù)，無(wú)理數(shù)e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程是y=$\frac{1}{e}$．
（1）求a，b的值；
（2）證明不等式1-x-xlnx＜$\frac{e^x}{x+1}（1+{e^{-2}}）$．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)值以及切線的斜率，以及函數(shù)值求出a、b即可．
（2）令p（x）=1-x-xlnx，x∈（0，+∞），求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，得到1-x-xlnx≤1+e^-2．設(shè)q（x）=e^x-（1+x），判斷q（x）單調(diào)遞增，證明不等式．

解答 解：（1）由$f（x）=\frac{alnx+b}{e^x}$得$f'（x）=\frac{a-bx-axlnx}{{x{e^x}}}\;（x＞0）$．
由已知得$f'（1）=\frac{a-b}{e}=0$，解得a=b．
又$f（1）=\frac{c}=\frac{1}{e}$，即b=1
∴a=b=1，…（4分）
（2）證明：令p（x）=1-x-xlnx，x∈（0，+∞），
∴p′（x）=-lnx-2=-（lnx-lne^-2），x∈（0，+∞）．
易得當(dāng)x∈（0，e^-2）時(shí)，p′（x）＞0，即p（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（e^-2，+∞）時(shí)，p′（x）＜0，即p（x）單調(diào)遞減．
所以p（x）的最大值為p（e^-2）=1+e^-2，
故1-x-xlnx≤1+e^-2．  ①…（8分）
設(shè)q（x）=e^x-（1+x），則q′（x）=e^x-1＞0（x＞0），
因此，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，q（x）單調(diào)遞增，q（x）＞q（0）=0．
故當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，q（x）=e^x-（1+x）＞0，即$\frac{e^x}{x+1}＞1$．　�、凇�（10分）
由①②得$1-x-xlnx≤1+{e^{-2}}＜\frac{e^x}{x+1}（1+{e^{-2}}）$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力，考查分析問題解決問題的能力．