Question

10．已知點(diǎn)M（-3，0），N（3，0），B（1，0），動(dòng)圓C與直線MN切于點(diǎn)B，過(guò)M，N與圓C相切的   兩直線相交于P點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{8}=1$（x＞1）．

Answer 1

分析 PM，PN分別與圓C相切于R、Q，根據(jù)圓的切線長(zhǎng)定理，能夠推導(dǎo)出PM-PN=QM-RN=MB-NB=2＜MN，因此點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的雙曲線．再根據(jù)題條件能夠求出P點(diǎn)的軌跡方程．

解答 解：由已知，設(shè)PM，PN分別與圓C相切于R、Q，
根據(jù)圓的切線長(zhǎng)定理，有PQ=PR，MQ=MB，NR=NB；
∴PM-PN=QM-RN=MB-NB=2＜MN
∴點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，c=3，a=1，所以b²=8
∴點(diǎn)P的軌跡方程為：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{8}=1$（x＞1）．
故答案為：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{8}=1$（x＞1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的基本性質(zhì)和圓的切線長(zhǎng)定理，正確運(yùn)用雙曲線的定義是關(guān)鍵．