Question

已知函數(shù)f（x）=

1

a

-

1

x

（a＞0，x＞0）
（1）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)的值域

專題：綜合題,轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由增函數(shù)的定義直接證明即可得出；
（2）由題設(shè)，本題可轉(zhuǎn)化為

1

a

-

1

x

=x有兩個(gè)根，即ax²-x+a=0有兩個(gè)不等根，由此利用判別式得到a的不等式，解之即可；
（3）f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，可轉(zhuǎn)化為2ax²-x+a≥0在（0，+∞）上恒成立，由此可得a＞0，再判斷出函數(shù)f（x）=2ax²-x+a在（0，+∞）上的最小值，令其大于等于0，解此不等式即可得出．

解答： 解：（1）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則
f(x1)-f(x2)=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

∵x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）由（1），f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，又f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），
∴

1 a - 1 m =m 1 a - 1 n =n

，即

1

a

-

1

x

=x有兩個(gè)根，即ax²-x+a=0有兩個(gè)不等根，
∴△=1-4a²＞0，解得-

1

2

＜a＜

1

2

，
實(shí)數(shù)a的取值范圍為-

1

2

＜a＜

1

2

．
（3）f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，即

1

a

-

1

x

≤2x在（0，+∞）上恒成立，即2ax²-x+a≥0在（0，+∞）上恒成立，可得a＞0
所以其對(duì)稱軸為x=

1

4a

＞0
由相應(yīng)二次函數(shù)的性質(zhì)得x=

1

4a

時(shí)，2ax²-x+a≥0成立即可，
∴2a(

1

4a

)2-

1

4a

+a≥0，解得a≥

2

4

或a≤-

2

4

（舍），
故a的取值范圍是a≥

2

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問題的一般轉(zhuǎn)化方法，函數(shù)單調(diào)性的證明，二次函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化的思想，最值的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)．