Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F，A為OF的中點，P為橢圓C上的一點，以AP為直徑的圓過點F且與y軸相切．則橢圓C的離心率為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：先建立直角坐標系，設出F坐標，然后由AP為直徑得PF垂直與x軸求出P，再求直徑|AP|長和圓心坐標，由圓與y軸相切，求出半徑r，利用|AP|=2r做構造含有a，b，c等式，再由橢圓b²=a²-c²消去b，轉為e=

c

a

求解．

解答： 解：由題意做出圖如右，設橢圓的焦距為2c（c＞0），則右焦點F（c，O），A（

c

2

，0）
以AP為直徑的圓過點F，則∠AFP=90°，即PF垂直與x軸，P為橢圓上點，則P（c，

b2

a

）
直徑|AP|=

(c- c 2 )2-( b2 a )2

 ，且圓心為AP中點，有中點坐標公式可求得（

3

4

c，

b2

2a

）
又由題意圓與y軸相切得圓心到y(tǒng)軸的距離等于半徑，即圓的半徑r=

3

4

c，
則|AP|=2r，即

(c- c 2 )2-( b2 a )2

 =

3

2

c，代入b²=a²-c²化簡得a²-c²-

2

ac=0，
同除以a²得（

c

a

）²+

2

c

a

-1=0，
又橢圓離心率e=

c

a

（0＜e＜1），
得e²+

2

e-1=0，
解得e=

6 - 2

2

．
故答案為：

6 - 2

2

．

點評：本題考察橢圓的離心率的求法，基本上都是利用題目條件構造構造含有a，b，c等式，再由橢圓b²=a²-c²消去b，轉為e=

c

a

求解．