Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$cos（$\frac{π}{4}$-2x），x∈R，求；
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）向右平移φ（0≤φ≤$\frac{π}{2}$）個單位后變?yōu)榕己瘮?shù)，求φ的值；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）-1在（0，a）有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．
（2）利用三角函數(shù)的平移關(guān)系結(jié)合三角函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)進(jìn)行求解．
（3）利用換元法結(jié)合數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{2}$cos（$\frac{π}{4}$-2x）=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{4}$）
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]，k∈Z．
（2）若函數(shù)f（x）向右平移φ（0≤φ≤$\frac{π}{2}$）個單位后，得到y(tǒng)=$\sqrt{2}$cos[2（x-φ）-$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$cos[2x-（2φ+$\frac{π}{4}$）]，
若函數(shù)變?yōu)榕己瘮?shù)，則2φ+$\frac{π}{4}$=kπ，則φ=$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{8}$，
∵0≤φ≤$\frac{π}{2}$，∴當(dāng)k=1時，φ=$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{8}$=$\frac{3π}{8}$．
（3）若g（x）=f（x）-1在（0，a）有兩個零點(diǎn)，
則等價為g（x）=f（x）-1=0，即f（x）=1在（0，a）有兩個根，
即$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{4}$）=1，則cos（2x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$在（0，a）有兩個根，
∵0＜x＜a，
∴0＜2x＜2a，
-$\frac{π}{4}$＜2x-$\frac{π}{4}$＜2a-$\frac{π}{4}$，
設(shè)t=2x-$\frac{π}{4}$，則-$\frac{π}{4}$＜t＜2a-$\frac{π}{4}$，
當(dāng)t=-$\frac{π}{4}$時，cost=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)t=$\frac{π}{4}$時，cost=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)t=-$\frac{π}{4}$+2π=$\frac{7π}{4}$時，cost=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)t=$\frac{π}{4}$+2π=$\frac{9π}{4}$時，cost=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
要使函數(shù)g（x）=f（x）-1在（0，a）有兩個零點(diǎn)，
則$\frac{7π}{4}$＜2a-$\frac{π}{4}$≤$\frac{9π}{4}$，
即π＜a≤$\frac{5π}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用換元法以及數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．