Question

15．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹，數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{10\sqrt{3}-n}{n}$a_n，存在m∈N^*，使得對(duì)任意的n∈N^*，不等式b_n≤b_m恒成立，則m的值是16．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹，變形為$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：a_n．代入b_n=$\frac{10\sqrt{3}-n}{n}$a_n．對(duì)n分類(lèi)討論，再利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=1，
∴數(shù)列$\{\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}\}$是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1．
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=1+n-1=n，
∴a_n=n•3ⁿ．
∴b_n=$\frac{10\sqrt{3}-n}{n}$a_n=$（10\sqrt{3}-n）$•3ⁿ．
b_n+1-b_n=3ⁿ$（20\sqrt{3}-2n-3）$，
當(dāng)n≤15時(shí)，b_n+1＞b_n；當(dāng)n≥16時(shí)，b_n+1＜b_n．
∴當(dāng)n=16時(shí)，b_n取得最大值．
即存在m=16，使得對(duì)任意的n∈N^*，不等式b_n≤b_m恒成立，
故答案為：16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．