【題目】如圖,三棱錐A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD .
(1)求證:CD⊥平面ABD;
(2)若AB=BD=CD=1,M為AD中點(diǎn),求三棱錐A-MBC的體積.
【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)
【解析】
試題分析:(Ⅰ)證明:CD⊥平面ABD,只需證明AB⊥CD;(Ⅱ)利用轉(zhuǎn)換底面,VA-MBC=VC-ABM=S△ABMCD,即可求出三棱錐A-MBC的體積
試題解析:(1)∵AB⊥平面BCD,CD平面BCD,
∴AB⊥CD.
又∵CD⊥BD,AB∩BD=B,
AB平面ABD,BD平面ABD,
∴CD⊥平面ABD.
(2)法一:由AB⊥平面BCD,得AB⊥BD,
∵AB=BD=1,∴S△ABD=.
∵M是AD的中點(diǎn),
∴S△ABM=S△ABD=
由(1)知,CD⊥平面ABD,
∴三棱錐C-ABM的高h=CD=1,
因此三棱錐A-MBC的體積
VA-MBC=VC-ABM=S△ABM·h=.
法二:由AB⊥平面BCD知,平面ABD⊥平面BCD,又平面ABD∩平面BCD=BD,如圖,過(guò)點(diǎn)M作MN⊥BD交BD于點(diǎn)N,則MN⊥平面BCD,且MN=AB=,又CD⊥BD,BD=CD=1,
∴S△BCD=.
∴三棱錐A-MBC的體積
VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD
=AB·S△BCD-MN·S△BCD
=.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺(jué)和空間能力與性別有關(guān),某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論,從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)(男30女20),給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題,讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答.選題情況如下表:(單位:人)
幾何題 | 代數(shù)題 | 總計(jì) | |
男同學(xué) | 22 | 8 | 30 |
女同學(xué) | 8 | 12 | 20 |
總計(jì) | 30 | 20 | 50 |
(1)能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為視覺(jué)和空間能力與性別有關(guān)?
(2)現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對(duì)她們的答題情況進(jìn)行全程研究,記甲、乙兩女生被抽到的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).
附表及公式:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)k使得以線段AB 為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O?若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,橢圓上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最大值為.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知點(diǎn)是線段上異于的一個(gè)定點(diǎn)(為坐標(biāo)原點(diǎn)),是否存在過(guò)點(diǎn)且與軸不垂直的直線與橢圓交于兩點(diǎn),使得,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有一座大橋既是交通擁擠地段,又是事故多發(fā)地段,為了保證安全,交通部門(mén)規(guī)定:大橋上的車(chē)距與車(chē)速和車(chē)長(zhǎng)的關(guān)系滿足為正的常數(shù)).假定車(chē)身長(zhǎng)為,當(dāng)車(chē)速為時(shí),車(chē)距為個(gè)車(chē)身長(zhǎng).
(1)寫(xiě)出車(chē)距關(guān)于車(chē)速的函數(shù)關(guān)系式;
(2)應(yīng)規(guī)定怎樣的車(chē)速,才能使大橋上每小時(shí)通過(guò)的車(chē)輛最多?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知?jiǎng)又本過(guò)點(diǎn),且與圓交于、兩點(diǎn).
(1)若直線的斜率為,求的面積;
(2)若直線的斜率為,點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn),求的取值范圍;
(3)是否存在一個(gè)定點(diǎn)(不同于點(diǎn)),對(duì)于任意不與軸重合的直線,都有平分,若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長(zhǎng)為a的正方形,側(cè)棱PD=a,PA=PC=a,
(1)求證:PD⊥平面ABCD;
(2)求證:平面PAC⊥平面PBD;
(3)求二面角P-AC-D的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)E為正方形ABCD邊CD上異于點(diǎn)C,D的動(dòng)點(diǎn),將△ADE沿AE翻折成△SAE,使得平面SAE⊥平面ABCE,則下列三個(gè)說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是( )
①存在點(diǎn)E使得直線SA⊥平面SBC
②平面SBC內(nèi)存在直線與SA平行
③平面ABCE內(nèi)存在直線與平面SAE平行
A.0 B.1 C.2 D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n2+8n,{bn}是等差數(shù)列,且an=bn+bn+1.
(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)令cn=,Tn是數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和,求證:
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