Question

18．設F是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的焦點，過F做雙曲線一條漸近線的垂線與兩條漸近線交于P，Q，若$\overline{FP}$=4$\overline{FQ}$，則雙曲線的離心率是$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 設F（-c，0），過F作雙曲線一條漸近線的垂線方程為y=$\frac{a}$（x+c），與兩條漸近線方程聯(lián)立，求出P，Q的橫坐標，利用$\overline{FP}$=4$\overline{FQ}$，建立方程，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：設F（-c，0），過F作雙曲線一條漸近線的垂線方程為y=$\frac{a}$（x+c）
與y=-$\frac{a}$x，聯(lián)立可得x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$；與y=$\frac{a}$x聯(lián)立可得x=$\frac{{a}^{2}c}{^{2}-{a}^{2}}$，
∵$\overline{FP}$=4$\overline{FQ}$，
∴$\frac{{a}^{2}c}{^{2}-{a}^{2}}$+c=4（-$\frac{{a}^{2}}{c}$+c），
∴a²c²=（c²-2a²）（3c²-4a²），
∴3e⁴-11e²+8=0，
∵e＞1，∴e²=$\frac{8}{3}$
∴e=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查向量知識的運用，確定a，c的關(guān)系是關(guān)鍵．