Question

13．若a_n=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$．，b_n=n，n∈N^*，則b₁（a₂₀₁₂-a₁）+b₂（a₂₀₁₂-a₂）+b₃（a₂₀₁₂-a₃）+…+b₂₀₁₁（a₂₀₁₂-a₂₀₁₁）=1011533．

Answer 1

分析 a_n=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$．，b_n=n，n∈N^*，可得b₁（a₂-a₁）=$\frac{1}{2}$，b₁（a₃-a₁）+b₂（a₃-a₂）=$\frac{1}{2}+\frac{1+2}{3}$，…，依此類推可得：b₁（a₂₀₁₂-a₁）+b₂（a₂₀₁₂-a₂）+b₃（a₂₀₁₂-a₃）+…+b₂₀₁₁（a₂₀₁₂-a₂₀₁₁）=$\frac{1}{2}+\frac{1+2}{3}+\frac{1+2+3}{4}$+…+$\frac{1+2+3+…+2011}{2012}$，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：∵a_n=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$．，b_n=n，n∈N^*，
則b₁（a₂-a₁）=$\frac{1}{2}$，
b₁（a₃-a₁）+b₂（a₃-a₂）=$\frac{1}{2}+\frac{1+2}{3}$，
b₁（a₄-a₁）+b₂（a₄-a₂）+b₃（a₄-a₃）=$\frac{1}{2}+\frac{1+2}{3}+\frac{1+2+3}{4}$，
…，
依此類推可得：b₁（a₂₀₁₂-a₁）+b₂（a₂₀₁₂-a₂）+b₃（a₂₀₁₂-a₃）+…+b₂₀₁₁（a₂₀₁₂-a₂₀₁₁）
=$\frac{1}{2}+\frac{1+2}{3}+\frac{1+2+3}{4}$+…+$\frac{1+2+3+…+2011}{2012}$
=$\frac{2-1}{2}$+$\frac{3-1}{2}$+$\frac{4-1}{2}$+…+$\frac{2012-1}{2}$
=$\frac{\frac{2011（1+2011）}{2}}{2}$=1011533．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、類比推理，考查了分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．