Question

7．已知：在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=CD=BC=2AD，AD∥BC，∠BCD=90°
（Ⅰ）求證：BC⊥PC；
（Ⅱ）求直線PA與平面PBC所成的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先根據(jù)已知條件利用線面垂直轉(zhuǎn)化成線線垂直，進一步利用線面垂直的判定定理得到線面垂直，最后轉(zhuǎn)化成線線垂直．
（Ⅱ）首先利用直線間的兩兩垂直，建立空間直角坐標系，利用法向量求出線面之間的夾角．

解答 證明：（Ⅰ）在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，
所以：PD⊥BC，
又∠BCD=90°，
所以：BC⊥CD，
則：BC⊥平面PCD，
則：BC⊥PC．
（Ⅱ）由于在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BCD=90°，
所以：∠ADC=90°．
建立空間直角坐標系D-xyz，PD=CD=BC=2AD，設AD=1，直線PA與平面PBC所成的角為θ，
則：A（1，0，0），P（0，0，2），C（0，2，0），B（2，2，0），
$\overrightarrow{BC}=（-2，0，0）$，$\overrightarrow{PC}=（0，2，-2）$，$\overrightarrow{PA}=（1，0，-2）$
設平面PBC的法向量為：$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0\end{array}\right.$，
整理得：$\left\{\begin{array}{l}-2x=0\\ 2y-2z=0\end{array}\right.$，
解得：$\overrightarrow{n}=（0，1，1）$，
所以：sinθ=cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PA}＞$=$\left|\frac{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{n}\right|\left|\overrightarrow{PA}\right|}\right|=\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查的知識要點：線面垂直的判定和性質(zhì)的應用，空間直角坐標系，法向量的應用，線面的夾角的應用．