Question

3．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{3}$，且橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)相連得到的凸四邊形的面積為12$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，P，Q是橢圓上不同于頂點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足直線AP與直線BQ交于點(diǎn)M（-9，m），以PQ為直徑作圓C，判斷點(diǎn)A與圓C的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由離心率公式和四邊形的面積公式，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）A（-3，0），B（3，0），M（-9，m），AM的方程為y=$\frac{m}{-6}$（x+3），代入橢圓的方程8x²+9y²=72，運(yùn)用韋達(dá)定理，求得P的坐標(biāo)，同理可得Q的坐標(biāo)，運(yùn)用向量AP，AQ的坐標(biāo)，運(yùn)用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，由符號(hào)即可得到A與圓C的位置關(guān)系．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$•2a•2b=12$\sqrt{2}$，
a²-b²=c²，解得c=1，a=3，b=2$\sqrt{2}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1；
（Ⅱ）A（-3，0），B（3，0），M（-9，m），
AM的方程為y=$\frac{m}{-6}$（x+3），代入橢圓的方程8x²+9y²=72，
可得（32+m²）x²+6m²x+9m²-288=0，
由-3x_P=$\frac{9{m}^{2}-288}{32+{m}^{2}}$，解得x_P=$\frac{96-3{m}^{2}}{32+{m}^{2}}$，y_P=$\frac{-32m}{32+{m}^{2}}$，m≠0，
BM的方程為y=$\frac{m}{-12}$（x-3），代入橢圓的方程8x²+9y²=72，
可得（128+m²）x²-6m²x+9m²-1152=0，
由3x_Q=$\frac{9{m}^{2}-1152}{128+{m}^{2}}$，解得x_Q=$\frac{3{m}^{2}-384}{128+{m}^{2}}$，y_Q=$\frac{64m}{128+{m}^{2}}$，
由$\overrightarrow{AP}$=（$\frac{192}{32+{m}^{2}}$，$\frac{-32m}{32+{m}^{2}}$），$\overrightarrow{AQ}$=（$\frac{6{m}^{2}}{128+{m}^{2}}$，$\frac{64m}{128+{m}^{2}}$），
即有$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=$\frac{192•6{m}^{2}-32•64{m}^{2}}{（32+{m}^{2}）（128+{m}^{2}）}$=$\frac{-896{m}^{2}}{（32+{m}^{2}）（128+{m}^{2}）}$＜0，
即有∠PAQ為鈍角，
即點(diǎn)A在以PQ為直徑的圓C的內(nèi)部．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷，注意運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，同時(shí)考查直線和橢圓方程相交問題，考查圓能力，屬于中檔題．