Question

8．函數f（x）滿足x²f′（x）+2xf（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$（e為自然對數的底數），f（2）=$\frac{{e}^{2}}{8}$，判斷f（x）在（0，+∞）上的極值情況．

Answer 1

分析 構造函數F（x），令φ（x）=e^x-2F（x），則φ′（x）=e^x-2F′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）}{x}$，得到φ（x）≥0，從而求出f′（x）≥0，即f（x）在（0，+∞）遞增，函數無極值．

解答 解：∵函數f（x）滿足x²f′（x）+2xf（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
∴[x²f（x）]′=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
令F（x）=x²f（x），則F′（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
F（2）=4•f（2）=$\frac{{e}^{2}}{2}$
由x2f′（x）+2xf（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，得f′（x）=$\frac{{e}^{x}-2F（x）}{{x}^{3}}$，
令φ（x）=e^x-2F（x），則φ′（x）=e^x-2F′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）}{x}$．
∴φ（x）在（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，
∴φ（x）的最小值為φ（2）=e²-2F（2）=0．
∴φ（x）≥0．
又x＞0，∴f′（x）≥0．
∴f（x）在（0，+∞）單調遞增．
∴f（x）既無極大值也無極小值．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用，構造函數F（x）=x²f（x）是解題的關鍵，本題是一道中檔題．